Предварительные сведения

Отношения и функции. Мощность множества

Бинарным или двуместным отношением между элементами множеств A и B называется любое подмножество R их декартова произведения A x B . Говорят также, что R является отношением из A в B. При A = B отношение R называется бинарным отношением на A. Вместо часто пишут xRy. Например, для отношений порядка на множестве натуральных чисел N используют записи вида 3 <= 7, x >= 23, z > y и т.п.

Тождественным отношением на множестве A называется отношение

Его обозначают знаком равенства " = ".

С бинарным отношением R связана его область определения:

и его область значений:

Обратным отношением для бинарного отношения R называется множество пар

Образом множества X относительно R называется множество прообразом X относительно R называется R^-1(X).

Произведением отношений и называется следующее отношение :

Важную роль среди бинарных отношений играют отношения эквивалентности. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением эквивалентности, если для него выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: для любого ;
2. Симметричность: для любых a, b из ;
3. Транзитивность: для любых трех элементов a, b,c из A, если и то и

Примером отношения эквивалентности на множестве натуральных чисел N является равенство остатков при делении на некоторое фиксированное число n: a = b (mod n).

С каждым отношением эквивалентности на множестве A связано разбиение A на непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности. Для каждого его класс эквивалентности включает все эквивалентные a элементы: Из определения эквивалентности непосредственно следует, что, если то а если то Таким образом, разбиение A на классы эквивалентности не зависит от выбора конкретных представителей этих классов в качестве их имен.

Если в приведенном выше примере в качестве n взять, например, 5, то все числа из N разобьются на 5 классов эквивалентности: N₀, N₁, N₂, N₃, N₄, где в класс N_i (i=0,1,2,3,4) войдут числа, дающие при делении на 5 остаток i.

Еще один важный класс отношений - отношения (частичного) порядка. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением частичного порядка, если для него выполнены следующие условия:

1. Антирефлексивность: для любого \ ;
2. Антисимметричность: для любых a, b из A, если и то a = b ;
3. Транзитивность: для любых трех элементов a, b,c из A, если и то и

   Примером такого отношения является отношение строгого включения на множестве 2^A всех подмножеств некоторого множества A. Обычное отношение строгого порядка < на N также удовлетворяет условиям 1 - 3. Но для него выполнено еще одно существенное условие:
4. Линейность: для любых a, b из A либо либо

Отношения, для которых выполнены условия 1 - 4 называются отношениями линейного порядка.

Отношение f называется функцией из A в B ( из A на B ) , если (соответственно, ) и для всех x, y₁, y₂ из того, что и следует, что y₁ = y₂. Запись: f : A -> B. В качестве синонимов термина "функция" часто используются слова отображение и преобразование. Если f функция, то вместо пишем f(x) = y и называем y значением f на аргументе x. f называется 1-1-функцией (или обратимой функцией), если для любых x₁, x₂, y из того, что f(x₁) = y и f(x₂) = y следует, что x₁ = x₂ . Функция f : A -> B называется взаимно однозначной функцией, если она является 1-1-функцией и Взаимно однозначная функция f : A -> A называется перестановкой множества A .

Определения бинарных отношений и функций с одним аргументом естественным образом обобщаются на многоместные отношения и функции.

n -арным (или n - местным) отношением на множествах A₁,..., A_n называется любое подмножество A₁ x ... x A_n. Функцию f : A₁ x ... x A_n -> B называем n -арной (или n - местной) функцией и пишем f(x₁, ..., x_n) = y при Чаще всего мы будем рассматривать n -арные функции для A₁ = ... = A_n =A. В этом случае f : Aⁿ -> B будем называть n -арной функцией из A в B.

Множество A называется эквивалентным (по мощности ) множеству B, если между A и B можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A, и эта мощность обозначается через |A| .

Для каждого мощность множества N_n={0,1,...,n-1} обозначим через n. Множество называется конечным, если оно для некоторого эквивалентно множеству N_n. Для конечных множеств их мощность - это количество элементов. В частности, для пустого множества

Каждое множество, эквивалентное N, называется счетным и его мощность обозначается

В нашем курсе мы будем рассматривать только конечные и счетные множества, а также - отношения и функции на таких множествах. Отметим, что многие объекты, изучаемые в дискретной математике, являются частными случаями отношений и функций на конечных множествах. К ним относятся, в частности, слова. Пусть алфавит A={a₁, ..., a_m} - это конечное множество элементов, называемых символами (буквами). Слово в алфавите A - это конечная последовательность символов этого алфавита: при i = 1, ..., n . Число букв в этой последовательности называется длиной слова и обозначается |w|. Имеется одно специальное "пустое" слово длины 0. Будем обозначать его через Нетрудно понять, что слова длины n взаимно однозначно соответствуют функциям вида f: {1,..., n} -> A. А именно, слову w = w₁... w_n, соответствует функция f_w(i) = w_i, i = 1, ..., n. Языком в алфавите A называется произвольное множество слов этого алфавита . На языках, как и на множествах, определены операции объединения, пересечения и разности. Язык, включающий все слова в алфавите A ( в том числе и пустое), обычно обозначается через A^*. Дополнение языка это язык L = A^* \ L.