Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3170 / 267 | Оценка: 4.08 / 3.92 | Длительность: 15:40:00
ISBN: 978-5-9556-0110-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Предварительные сведения

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >

Задачи

Задача 1.1. Доказать следующие включения:

  • A\cap  B \subseteq  A \subseteq  A\cup  B ;
  • A \setminus  B \subseteq  A.

Задача 1.2. Доказать следующие тождества:

  • A\cup  A = A \cap  A = A ;
  • A \cap (B \cup  C) = (A \cap  B) \cup  (A \cap  B) ;
  • (A \cup  B) \cap  A= (A \cap  B) \cup  A = A ;
  • A \setminus  (B \cup  C) = (A \setminus  B) \cap  ( A\setminus  C) ;
  • A \setminus  (B \setminus  C) = (A \setminus  B) \cup  ( A\cap  C) ;
  • A\cup  \varnothing = \varnothing  \cup  A=A ;
  • A\cap  \varnothing = \varnothing  \cap  A=\varnothing ;
  • A \dot{-} \emptyset = \emptyset \dot{-} A = A и A \dot{-} A =\emptyset.

Задача 1.3. Найти все подмножества множеств \varnothing, \{ \varnothing \}, {1,2,3}, \{ a,\{ 1,2\} ,\varnothing \}.

Задача 1.4. Пусть A={ 0, 1}, B ={a,b,c}. Определите множества Ax B и B x A.

Задача 1.5. Доказать, что

  • A  \times  (B \cup  C) = (A \times  B)\cup  (A \times  C) ;
  • A  \times  (B \cap  C) = (A  \times  B)\cap  (A  \times  C) ;
  • A x (B \ C) = (Ax B)\ (Ax C) ;
  • если A \subseteq  B и C \subseteq  D, то (A  \times  C) = (A  \times  D)\cap  (B  \times  C).

Задача 1.6. Для каждого из следующих отношений определить \delta _{R}, \rho _{R}, R^{-1}, R\hat{}  R, R\hat{}  R^{-1}:

  • R = \{ (x,y)  |  x,y \in  N \ и \ x  \ делит\  y \} ;
  • R = \{ (x,y)  |  x,y \in  N \ и \ x + y \le  10 \} ;
  • R = \{ (x,y)  |  x,y \in  N \ и\  y= 3x + 1 \} ;
  • R = \{ (x, x^{2})  |  x \in  N  \ и \   x \le  10\} ;
  • R = {(a,b), (b,c), (b,d), (c,d), (d, b)}.

Задача 1.7. Пусть множество S ={ (i, j) | 1<= i, j <= 8} задает клетки шахматной доски. Опишите следующие бинарные отношения на S:

  • L ={ (a,b) | ладья за 1 ход может перейти с клетки a на клетку b };
  • K= { (a,b) | конь за 1 ход может перейти с клетки a на клетку b }.

Будут ли эти отношения эквивалентностями? Опишите отношение L \hat{}  L.

Задача 1.8. Пусть \Pi - множество прямых на плоскости. Будут ли следующие отношения отношениями эквивалентности:

  • параллельность прямых;
  • перпендикулярность прямых.

Задача 1.9. Пусть A={a1,..., am} - произвольный конечный алфавит. Обозначим через An множество слов длины n в алфавите A (это обозначение согласовано с тем же обозначением декартовой степени A, так как степень An состоит из всех последовательностей элементов A длины n ). Через A* обозначим множество всех слов в алфавите A.

  • Определим следующее отношение R1 на словах из An.

    Пусть v=a{i1}a{i2}... a{in}, w= a_{j_1}a_{j_2}\ldots a_{j_n}. Тогда

    (v,w) \in  R_{1}  \Leftrightarrow для всех k от 1 до n ik <= jk и для некоторого такого k ik < jk, т.е. номер каждой буквы слова v не больше номера той же буквы в слове w и хотя бы у одной из букв он меньше.

    Является ли это отношение R1 отношением частичного (линейного) порядка?

  • Определим следующее отношение R2 на словах из A*.

    Пусть v=a{i1}a{i2}... a{in}, w= a_{j_1}a_{j_2}\ldots a_{j_r}. Тогда

    (v,w) \in  R_{2}  \Leftrightarrow существует такое k в интервале от 1 до n, что при l < k il = jl и ik < jk или n < r и первые n символов w совпадают со словом v.

    Является ли это отношение R2 отношением частичного (линейного) порядка?

Замечание. Определенное в пункте (а) отношение R1 называется отношением покоординатного порядка, а отношение R2 из пункта (б) - отношением лексикографического порядка. В соответствии с лексикографическим порядком упорядочены, например, слова в словарях и энциклопедиях.

Задача 1.10. Доказать, что если множества A и B конечны, то

  • | A x B| = |A| x |B|;
  • |A \cup  B| = |A|+ |B|  -  |A \cap  B|.
Лекция 1: 123 || Лекция 2 >
Елена Алексеевская
Елена Алексеевская

Это в лекции 3.

Татьяна Дембелова
Татьяна Дембелова

Почему в вводной лекции курса Основы дискретной математики одним из свойств отношения частичного порядка упоминается антирефлексивность? Посмотрела в других источниках, там -0  рефлексивность... http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0