Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 11:

Измеряющие операторы

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >

Свойства измеряющих операторов.

Мы будем рассматривать измеряющие операторы, соответствующие одному и тому же ортогональному разложению \calN=\bigoplus_{j}\calL_j.

1. Произведение измеряющих операторов — измеряющий оператор. Действительно, пусть есть два измеряющих оператора

W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j} \text{ и }  W^{(2)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.
Поскольку \Pi_{\calL_j}\Pi_{\calL_k}\ne0\ \ \Leftrightarrow j=k, имеем
W^{(2)}W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_jR^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.

2. Условные вероятности для произведения измеряющих "разными приборами" операторов перемножаются. Более точно, пусть R^{(1)}\double={\widetilde R}^{1}\otimes I, а R^{(2)}= I\otimes{\widetilde R}^{2}. Тогда \PP(k_1,k_2\,\big|\,j)\double=\PP_1(k_1\,\big|\,j)\PP_2(k_2\,\big|\,j). Это равенство следует непосредственно из определения условных вероятностей и из очевидного тождества

\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(U_1\otimes U_2\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)=  \bra{\xi_1}U_1\ket{\eta_1}\,\bra{\xi_2}U_2\ket{\eta_2}.

3. Формула полной вероятности. Пусть есть измеряющий оператор W= \sum_{}^{} R_j\otimes \Pi_{\calL_j}. Если применить его к состоянию \ket0\bra0\otimes\rho, где \rho\double\in\LL(\calN), то вероятность наблюдения состояния k можно записать в виде:

\PP\Bigl(W(\ket0\bra0\otimes\rho)W^\dagger,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) \,=\, \sum\limits_{j} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j).

Доказательство. W\Bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\Bigr)W^\dagger = \gamma =\sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\otimes \Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}. Ранее было доказано, что \PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \PP\bigl(\Tr_\calN\gamma,\CC(\ket{k})\bigr). Далее,

\Tr_\calN\gamma = \sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\times \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right).
Поскольку
\Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}^2\rho\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\right)\bydef \PP\left(\rho, \calL_j\right),
получаем искомое выражение \PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)=  \sum\limits_{j}^{} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j).

Задача 11.1. Докажите формулу полной вероятности напрямую, не используя взятия частичного следа.

Задача 11.2. "Обратимое измерение" Пусть W=\sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes V_k — измеряющий оператор, V_k\ket{0}=\sum_{y,z}c_{y,z}(k)\ket{y,z}. (Имеется в виду, что операторы V_k действуют на m+s q-бит; первые m q-бит (т.е. y ) — "полезный результат", остальные s q-бит (т.е. z ) — "мусор".) Допустим, что V измеряет некоторую функцию f\colon\{1,\dots,t\}\to\cb^m с вероятностью ошибки \le\eps, т.е.

\PP(f(k)\,|k)\ \bydef\ \sum_z|c_{f(k),z}(k)|^2\ \ge\ 1-\eps.
Постройте c использованием W и W^{-1} квантовую схему полиномиального размера, реализующую с точностью O(\eps^{1/2}) новый измеряющий оператор
U = \sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes Q_{f(k)}\,, \quad\mbox{где}\ Q_v\ket{y}\,=\,\ket{y\xor v}.
(Разрешается "брать напрокат" дополнительные q-биты.)

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >