Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1410 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 7:

Принцип максимина и устойчивость решений в антагонистических конфликтах

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >

Определение 1.8 (максиминных и минимаксных стратегий) Стратегия x*, определяемая условиями (6.13), называется максиминной стратегией игрока P1, а стратегия y*, определяемая условиями (6.14), - минимаксной стратегией игрока P2. Нетрудно заметить, что выбор этих терминов находится в прямом соответствии с типом вложенных операций взятия экстремума из правых частей выражений (6.13) и (6.14).

Следствие 1.1 (отношения на множестве седловых точек ядра). Пусть X^\ast \subset X есть множество всех максиминных стратегий игрока P1, а {Y^\ast \subset Y} - множество всех минимаксных стратегий игрока P2, т.е1Символ Arg обозначает множество всех значений аргумента, при которых достигается записанный справа от этого символа экстремум функции (по этому аргументу). .

X^\ast = {\rm Arg} \max_{x \in X} \left[\min_{y \in Y} M(x,y)\right]\!, ( 6.16)
Y^\ast = {\rm Arg} \min_{y \in Y} \left[\max_{x \in X} M(x,y)\right]\!. ( 6.17)

Тогда:

  1. любая пара стратегий (x',y'), где x' \in X^\ast и y' \in Y^\ast, является седловой точкой ядра M(x,y) ;
  2. если существуют две несовпадающие пары стратегий (x',y') и (x'',y''), такие, что x', x'' \in X^\ast и y', y'' \in Y^\ast, то точки (x',y''), (x'',y') также являются седловыми точками ядра;
  3. значения ядра во всех седловых точках являются одинаковыми.

Доказанная теорема определяет конструктивный путь поиска устойчивых решений антагонистической игры с заданным ядром. В соответствии с этим подходом следует вычислить правые части выражений (6.13), (6.14) и провести их сравнение. В случае совпадения указанных величин, точка (x*,y*), компоненты которой определяются левыми частями выражений (6.13), (6.14), является седловой точкой ядра M(x,y) и, следовательно, представляет собой устойчивое по Нэшу и оптимальное по Парето решение. Это решение допускает следующую интерпретацию.

Выбор стороной P1 стратегии x \in X гарантирует ей, что ее выигрыш (т.е. полезность, обеспечиваемая выбранным решением) будет не ниже, чем величина (6.11). Следовательно, максиминная стратегия x*, определяемая условием (6.13), обеспечивает стороне P1 максимальный гарантированный выигрыш. Фактически, принятие этой стратегии соответствует ориентации игрока P1 на худший для него вариант поведения игрока P2. Такая ориентация является вполне естественной для рассматриваемого случая антагонистических отношений сторон.

Аналогично, выбор стороной P2 стратегии y\in Y гарантирует, что ее проигрыш не превысит величины (6.12). Следовательно, минимаксная стратегия y*, определяемая условием (6.14), минимизирует максимальные возможные потери этой стороны.

Заметим, что в случае неединственности максиминных (для P1 ) и минимаксных (для P2 ) стратегий у сторон нет необходимости согласовывать друг с другом реализуемые ими выборы. Согласно следствию из теоремы, любые сочетания выбранных сторонами P1 и P2 соответственно максиминных и минимаксных стратегий образуют седловую точку ядра и гарантируют сторонам один и тот же уровень полезности.

Замечание 1.16 (о ценах игры). Существование максиминных стратегий x* из (6.16) и минимаксных стратегий y* из (6.17) еще не гарантирует совпадения величин

\underline{v} = \min_{y \in Y} M(x^\ast, y) = \max_{x \in X} \min_{y \in Y} M(x,y) ( 6.18)
и
\bar{v} = \max_{x \in X} M(x, y^\ast) = \min_{y \in Y} \max_{x \in X} M(x,y), ( 6.19)
называемых соответственно нижней ценой игры и верхней ценой игры (используются также термины нижнее значение игры и верхнее значение игры ). Согласно (6.6), нижняя цена игры всегда не выше, чем верхняя цена. Как мы уже установили, совпадение верхнего и нижнего значений игры является необходимым и достаточным условием существования в этой игре устойчивых по Нэшу пар стратегий. В этом случае общее значение
v = \underline{v} = \bar{v} ( 6.20)
называется ценой игры.

Определение 1.9 ( решения антагонистической игры ). Пусть ядро M(x,y), x\in X, y\in Y, имеет седловую точку (x*,y*). Тогда тройку величин

(x^\ast, y^\ast, v), ( 6.21)
где v есть цена игры из (6.18)-(6.20), называют решением антагонистической игры.

Как уже было отмечено выше, стратегии x* и y* из (6.21) соответствуют устойчивому поведению сторон, поскольку свойства равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето исключают стимулы к изменению решений. При этом каждая из сторон может независимо определять свое поведение, руководствуясь принципом максимального гарантированного результата. Отметим также, что цена игры v является объективной характеристикой свойств ядра игры. Игрок P1 не может гарантировать себе выигрыш, превышающий эту величину. Однако для реализации этой гарантии он должен придерживаться своей максиминной стратегии. Аналогичные замечания справедливы и для игрока P2.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?