Многозначные отображения и транзитивные замыкания

Транзитивные замыкания

Прямое транзитивное замыкание

Прямым транзитивным замыканием некоторой вершины х_i – T⁺( х_i ) является объединение самой вершины х_i с прямыми отображениями 1-го порядка, второго порядка и т. д., т. е.

.

Многозначные отображения находятся до тех пор, пока в них добавляются новые вершины.

Так, для графа на рис. 3.1.

Г⁺¹ ( х₁ ) = { х₂, х₃ }, Г⁺²( х₁ ) = { х₃, х₅ }, Г⁺³( х₁ ) = { х₃, х₁ }, Г⁺⁴( х₁ ) = { х₂, х₃ }.

Отображение четвертого порядка содержит те же элементы, что и отображение 1-го порядка, следовательно, других элементов в последующих отображениях не появится. Транзитивное замыкание для вершины х₁ получается следующим образом:

.

Проанализировав множество вершин, входящих в T⁺( х_i ), можно сделать вывод: прямое транзитивное замыкание содержит вершины, в которые есть пути из вершины х_i. Таким образом, можно дать второе определение T⁺( х_i ).

Прямое транзитивное замыкание некоторой вершины х_i T⁺( х_i ) – это множество вершин, достижимых из вершины х_i, т. е. .

Обратное транзитивное замыкание

Обратным транзитивным замыканием некоторой вершины х_i –T^-( х_i ) является объединение этой вершины с обратными отображениями 1-го, 2-го и т. д. n -го порядка, т. е.

.

Иначе, обратное транзитивное замыкание для некоторой вершины х_i – T^-( х_i ) – это множество вершин, из которых достижима вершина .

Рассмотрим построение обратного транзитивного замыкания для графа на рис. 3.1.

.

Нахождение транзитивных замыканий по матрице смежности

Рассмотрим метод нахождения прямого транзитивного замыкания по матрице смежности, показанной на рис. 3.3,а для вершины х₂ графа, изображенного на рис. 3.3,б. На 1-м шаге итерации заносим 0 в столбец Т⁺ для элемента х₂ и просматриваем 2-ю строку матрицы. Находим, что элементы a₂₂=1 и a₂₅=1. Заносим 1 в 5-ю клетку Т⁺. 2-я клетка уже занята нулем, поэтому 1 не заносим. 2-й шаг начинается просмотром 5-й строки матрицы смежности, соответствующий вершине х₅ графа. Находим, что элементы a₅₁=1 и a₅₄=1, т. е. из вершины х₅ имеются дуги в вершины х₁ и х₄ или иначе из вершины х₂ имеются пути длиной 2 в вершины х₁ и х₄. Длину пути 2 заносим в 1-ю и 4-ю клетки столбца T⁺(х₂). На 3-м шаге анализируются 1-я и 4-я строки матрицы смежности А. Находим элементы a₁₂=1, a₁₃=1, a₄₃=1. В соответствующие свободные клетки заносим значения

Рис. 3.3. Построение прямого (а) и обратного (в) транзитивных замыканий для графа (б)

Это возможно сделать только для вершины х₃, так как вторая клетка уже занята. Анализ 3-й строки матрицы на 4-м шаге показывает, что из вершины х₃ нет исходящих дуг, следовательно, процесс формирования прямого транзитивного замыкания завершен.

Таким образом, в столбце T⁺(х₂) стоят числа равные длине пути от вершины х₂ к соответствующим вершинам графа. Путь от х₂ к х₃ равный 3 показан штриховой линией на рис. 3.3,б. В столбце T⁺( х₂ ) отмечены все вершины, достижимые из вершины х₂, следовательно, они входят в T⁺( х₂ ).

T⁺( х₂ ) = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ }.

Во втором столбце показано построение прямого транзитивного замыкания вершины х₁ – T⁺( х₁ ).

T⁺( х₁ ) = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ }.

Нахождение обратного транзитивного замыкания по матрице смежности показано на рис. 3.1,в. Рассмотрим нахождение обратного транзитивного замыкания вершины х₃ – T^-( х₃ ), которое начинается с занесения 0 в 3-ю клетку строки T^-( х₃ ). На 1-м шаге алгоритма, помеченного стрелкой с цифрой 1, просматриваем 3-й столбец матрицы А. Определяем элементы равные 1, т. е. a₁₃=1 и a₄₃=1. Следовательно, в графе из вершин х₁ и х₄ есть дуги в вершину х₃. Заносим 1 в 1-ю и 4-ю клетки T^-(х₃). На втором шаге просматриваем 1-й и 4-й столбцы матрицы A. Находим a₅₁=1, a₆₁=1, a₅₄=1 и проставляем 2 (так как длина пути от этих вершин до вершины х₃ равна 2) в свободные клетки T^-(х₃), т. е. в 5-ю и 6-ю клетки. 3-й шаг заключается в просмотре 5-го и 6-го столбцов матрицы A. Элементы a₂₅=1, a₆₅=1, a₆₆=1 позволяют поставить 3 во 2-ю клетку строки T^-( х₃ ). 4-й шаг просмотра 2-го столбца дает элементы a₁₂ = 1 и a₂₂ = 1, уже вошедшие в T^-(х₃). Итак, сформировано обратное транзитивное замыкание для вершины х₃.

T^-( х₃ ) = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ }.

Числа, стоящие в клетках T^-( х₃ ), показывают длину кратчайшего пути от соответствующих вершин до вершины х₃.

Во второй строке показано формирование обратного транзитивного замыкания вершины х₁.

T^-( х₁ ) = { х₁, х₂, х₅, х₆ }.