Лекция 7: Методы разбиения графа на максимальные сильно связные подграфы

Метод Мальгранжа

Пусть дан граф G=(X, A), где X={ х_i }, i =1, 2, ... , n – множество вершин, а A={ a_i }, i =1, 2, ..., m – где множество дуг, описанных матрицей смежности. Алгоритм разбиения заключается в следующем [4].

1. Для произвольной вершины находим прямое T⁺(х_i) и обратное T^-(х_i) транзитивные замыкания.
2. Находим . Множество вершин этого пересечения составляют вершины максимального сильно связного подграфа G₁ = (Х₁, A₁).
3. Из исходного графа вычитаем подграф G₁:G '=G\G₁, Х'=X\Х₁ .
4. Граф G ' принимаем за исходный граф и пока пункты 1, 2, 3 алгоритма повторяются.

Рассмотрим этот алгоритм более подробно на примере разбиения графа, представленного на рис. 7.1,a, матрица смежности которого показана на рис. 7.1,б.

Рис. 7.1.

РАЗБИЕНИЕ – 1 .

1. Начальной вершиной первого разбиения выберем х₁ . Построим прямое и обратное транзитивные замыкания. T⁺(х₁) – столбец, показанный справа от матрицы А, а T^-(х₁) – строка, находящаяся ниже матрицы смежности.

   T⁺(х₁) = {х₁, х₄, х₅, х₆, х₇, х₈, х₁₁ },

   T^-(х₁) = {х₁, х₂, х₃, х₇, х₉, х₁₀, х₁₁}.
2. Находим . Эти вершины и составляют первый выделенный, максимальный сильно связный подграф G₁ = (Х₁, A₁), где Х₁ = {х₁, х₇, х₁₁}, а матрица смежности A₁ подграфа G₁ показана на таблица 7.1.

3. Из исходного графа G вычитаем подграф G₁ G ' = G \G₁ ;

   G ' = (X ', A'), X ' = { х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₈, х₉, х₁₀ }.
4. Так как X ' не пустое множество, то G' принимаем за G и переходим ко второму разбиению.

РАЗБИЕНИЕ – 2

1. Выбираем любую вершину, принадлежащую X, например, х₂ , и находим T⁺(х₂) и T^-(х₂). Это показано в таблице 7.2. T⁺(х₂) = { х₂, х₈ } ; T^-(х₂) = { х₂ }.
2. . Следовательно, второй выделенный подграф G₂ состоит из одной вершины х₂ .
3. G ' = G \G₂; G ' = (X ', A'); X ' = { х₃, х₄, х₅, х₆, х₈, х₉, х₁₀ }.
4. Так как X ' не пустое множество, то G ' принимаем за G и процесс разбиения продолжается.