Пути и циклы в графах

Пути и маршруты

Путем в орграфе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, кроме последней, является начальной вершиной следующей дуги.

Например, для графа на рис. 8.1 последовательности дуг

M₁: a₆, a₅, a₉, a₈, a₄ ,

M₂: a₁, a₆, a₅, a₉, a₇ ,

M₃: a₁, a₆, a₅, a₉, a₁₀, a₆, a₄

являются путями. Пути могут быть различными.

Рис. 8.1. Орграф

Орцепью (или простым путем) называется такой путь, в котором каждая дуга используется не более одного раза.

Так пути M₁ и M₂ являются орцепями, а M₃ нет, поскольку дуга a₆ используется дважды.

Простой орцепью (или элементарным путем) называется путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза.

Простой орцепью является путь M₂ .

Для неориентированного графа понятия маршрута, цепи и простой цепи аналогичны понятиям пути, орцепи и простой орцепи в орграфе. (В определениях следует заменить слово "дуга" на слово "ребро").

Путь или маршрут можно изображать также последовательностью вершин. Так путь M₁ можно представить последователь-ностью вершин х₂, х₅, х₄, х₃, х₅, х₆ , и такое представление часто оказывается более полезным.

Вес и длина пути

Иногда дугам графа сопоставляют числа a_i -> с_i , называемые весом или длиной, или стоимостью или ценой. В каждом конкретном случае выбирается то слово, которое ближе подходит по смыслу задачи.

Граф G, описываемый тройкой вида

G = (X, A, С),

где Х = { х_i }, i =1, 2, 3, ..., n – множество вершин,

А = { a_i }, i = 1, 2, 3, ..., m – множество дуг,

С = {C_i}, i = 1, 2, 3, ..., m – множество характеристик дуг, называется графом со взвешенными дугами.

Пример такого графа приведен на рис. 8.2,а. При рассмотрении пути M, представленного последовательностью дуг (a₁, a₂, ..., a_q), за его вес (или длину, или стоимость) принимается число L(M), равное сумме весов всех дуг, входящих в путь, т. е. для всех .

Длиной (или мощностью ) пути называется число дуг, входящих в него. Чаще всего термин "длина" употребляется, когда все дуги, входящие в путь, имеют веса, равные 1, т. е. когда вес пути совпадает с его длиной (мощностью).

Рис. 8.2. Взвешенные графы: а – граф со взвешенными дугами; б – граф со взвешенными вершинами; в – взвешенный граф

Граф со взвешенными вершинами – это граф, описываемый тройкой

G = ( X, А, V ),

где Х = { х_i }, i = 1, 2, ..., n – множество вершин графа;

А = { a_i }, i = 1, 2, ..., m – множество дуг графа;

V ={ v_i }, i = 1, 2, ..., n – множество характеристик вершин.

В качестве характеристик вершин могут выступать "стоимость", "мощность", "вес" и т. п. Пример такого графа приведен на рис. 8.2,б. Для графа со взвешенными вершинами в случае представления пути последовательностью вершин весом пути является сумма весов, входящих в этот путь вершин.

И наконец, взвешенный граф определяется четверкой вида G = (Х, А, V, С), т. е. и дуги, и вершины этого графа имеют некоторые характеристики.

Область применения взвешенных графов в качестве моделей довольно обширна: транспортные задачи, задачи оптимизации сети связи и системы перевозок и др. Одной из известнейших оптимизационных задач является нахождение кратчайших путей в графе со взвешенными дугами.