НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1626 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

9.22. ЛЕММА. Пусть - свободный -модуль и - конечное подмножество модуля . Тогда отношение редукции $\underset B\to$ является нетеровым, т.е. не существует бесконечных цепочек вида $f \underset B\to f_1 \underset B\to \dots \underset B\to f_k\dots$ . Следовательно, для любого элемента существует (не обязательно единственный) нередуцируемый элемент , такой, что $f\overset*{\underset B\to}f'$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Всякий ранжир, по определению, вполне упорядочивает множество термов T_F . Поэтому мы можем выбрать среди всех бесконечных цепочек редукций цепочку, начинающуюся с элемента с минимальным относительно ранжира лидером . Возможны две ситуации: либо на некотором шаге редукции терм редуцируется и оставшаяся часть цепочки начинается с элемента, все слагаемые которого меньше, чем ; либо не редуцируется ни на каком шаге редукции. В обоих случаях получается противоречие с минимальностью выбранной цепочки: в первом случае можно выбрать хвост исходной цепочки, остающийся после редуцирования ; во втором - вычесть из всех элементов цепочки терм .

9.23. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Множество нередуцируемых относительно отношения $\smash[b]{\underset B\to}$ элементов является векторным -пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нужно проверить, что если и - нередуцируемые элементы и $c \in K$ , то элементы f + g и также нередуцируемы. Это немедленно следует из того, что в f + g и присутствуют с ненулевыми коэффициентами только те слагаемые, которые присутствуют в и .

9.24. ЛЕММА. Если множество порождает подмодуль $\smu{1} M \subset F$ и $f - f' \in M$ , то существует целое $s \geq 0$ и элементы $f=f_0 ,f_1 ,\dots\dots , f_s =f'$ , такие, что для всех от 1 до либо $f_{i-1} \to f_i$ , либо $f_i\to f_{i-1}$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку порождает модуль , элемент f-f' можно представить в виде суммы

$\sum_{i=1}^rc_i\cdot\eta_i\cdot g_i,$

где

- коэффициенты, $\eta_i \in T(X)$ , $g_i \in G$ (могут совпадать при различных значениях

). Доказательство леммы будем вести индукцией по минимальной длине

такого представления. Если r=0

, то

, и утверждение леммы выполнено. Для произвольного

мы можем предполагать, что $\phi =\textbf{u}_{\eta_r \cdot g_r } \geq \textbf{u}_{\eta_i \cdot g_i }$ для всех

. Положим $f_1 =f-c(f,\phi)\cdot \eta_r \cdot g_r$ , $f_2 =f_1 -(c_r -c(f,\phi))\cdot \eta_r \cdot g_r$ . Тогда $f \to f_1 \leftarrow f_2$ и $f_2 - f' = f - f' - c_r \cdot \eta _r \cdot g_r = \sum\limits_{i=1}^{r-1} c_i \cdot \eta _i \cdot g_i$ , так что можно применить предположение индукции.

9.25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. На прямом произведении $F\times F$ определим функцию , такую, что S(f,f')= 0 , если f = 0 , или f' = 0 , или $НОД(\textbf{u}_f,\textbf{u}_{f'})$ не определен; в остальных случаях $S(f,f')=\textrm{Hcoeff}(f') \varphi f - \textrm{Hcoeff}(f) \zeta f'$ , где $\varphi ,\zeta \in T(X)$ и $\varphi \textbf{u}_f = НОД(\textbf{u}_f, \textbf{u}_{f'}) = \zeta \textbf{u}_{f'}$ .

9.26. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть - кольцо обобщенных многочленов от переменных $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ над полем , - свободный -модуль. Предположим, что $M \subseteq F$ - подмодуль свободного модуля , $G \subset M$ - конечное множество и < - ранжир на множестве термов T_F . Множество называется базисом Гребнера ( -базисом) подмодуля , если для любого ненулевого элемента $f\in M$ имеется представление Гребнера ( -представление):

$f=\sum_{i=1}^r c_i\theta_ig_i,\quad 0\ne c_i\in K,\ \theta_i \in T(X),\ g_i \in G,\label{4.1.8}\\ \theta_i\textbf{u}_{g_i}>\theta_{i+1}\textbf{u}_{g_{i+1}},\notag$

откуда, в частности, следует, что $\textbf{u}_f = \theta _1 \textbf{u}_{g_1}$ .

Недостатком введенного определения является то, что для одного и того же элемента могут существовать различные -представления. Например, если g_1 = t^2 - 1 , g_2=t^3-1 , то $(t^2-1)(t^3-1)== t^3\cdot g_1-g_1=t^2\cdot g_2-g_2$ - два различных -представления одного и того же многочлена. С другой стороны, достаточно сложно проверить, что некоторый элемент не допускает -представления. От этих недостатков можно избавиться, если потребовать, чтобы любой одночлен мог появляться в -представлении в качестве лидера слагаемого $\theta_i g_i$ не более чем для одного элемента $g_i \in G$ . В частности, можно предполагать, что элементы множества упорядочены, и при выборе линейно независимых элементов вида $\theta_i g_i$ мы руководствуемся правилами, сформулированными в определении нормальной редукции 9.19. Представление такого вида мы будем называть нормальным - представлением.

Для формулировки основного результата настоящего параграфа введем некоторые обозначения и докажем две леммы.

9.27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для элементов $f,f' \in F$ будем писать $f \nabla f'$ , если существует элемент $f''\in F$ , такой, что $f \overset*\to f''$ и $f' \overset*\to f''$ .

9.28. ЛЕММА. Пусть $f,f',f'' \in F$ и $f\overset*\to f'$ . Тогда $f+f'' \nabla f'+f''$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $f = f'+c\cdot \eta \cdot g$ , где $\textbf{u}_{\eta \cdot g} = \phi$ и $c == c(f,\phi)\neq 0$ , $c(f',\phi)=0$ . Если $c'' = c(f'',\phi)$ , то $f''= c''\cdot \eta \cdot g+h$ , где $c(h,\phi)=0$ , тогда

$f+f'' = f'+c\cdot \eta \cdot g+c''\cdot \eta \cdot g+h = f'+h+(c+c'')\cdot \eta \cdot g \overset*\to f'+h$

и

$f'+f''=f'+h+c''\cdot \eta\cdot g \overset*\to f'+h.$

9.29. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что отношение редукции $\to$ удовлетворяет условию слияния }, если для любого элемента из условий $f \overset*\to f'$ и $f \overset*\to f''$ следует, что $f' \nabla f''$ .

9.30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что отношение редукции $\to$ удовлетворяет локальному условию слияния, если для любого элемента из $f \to f'$ и $f\to f''$ следует, что $f' \nabla f''$ .

9.31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что отношение редукции $\to$ удовлетворяет псевдолокальному условию слияния, если для всех $f,f',f'' \in F$ , таких, что $f \to f'$ и $f\to f''$ , существует целое $s \geq 0$ и элементы $f'=f_0 ,f_1 ,\dots, f_s =f''$ , такие, что $f\overset*\to f_i$ и $f_{i-1}\nabla f_i$ для всех $i = 1,\dots,s$ .

9.32. ЛЕММА. Если нетерово отношение $\to$ удовлетворяет псевдолокальному условию слияния, то отношение $\to$ удовлетворяет условию слияния.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим "нетерову" индукцию, т.е. покажем, что если утверждение леммы верно для всех таких, что $f\to g$ , то оно верно и для . Такой индукции достаточно для доказательства леммы, поскольку в противном случае некоторый элемент , для которого утверждение леммы не выполняется, мог бы быть выбран в качестве первого элемента бесконечной цепочки $f \to f_1 \to\dots\to f_n \to \dots,$ для всех элементов которой утверждение леммы также не выполняется.

Итак, фиксируем и предположим, что для всех элементов $f^\#$ таких, что $f \overset+\to f^\#$ , утверждение леммы выполняется. Покажем, что оно выполняется и для . Без потери общности мы можем предполагать, что данные элементы и отличны от , т.е. имеют место редукции $f\to g_1 \overset*\to f'$ и $f \to g_2 \overset*\to f"$ . Элементы g_1 и g_2 удовлетворяют псевдолокальному условию слияния при некотором~ .

Доказательство будем вести индукцией по . Основание индукции по предполагает s=1 , т.е. g_1 и g_2 удовлетворяют локальному условию слияния. Из условия локального слияния следует, что существует g_3 , такой, что $g_2 \overset*\to g_3$ и $g_1 \overset*\to g_3.$ По предположению внешней индукции для элементов и g_3 существует элемент g_4 , такой, что $f' \overset*\to g_4$ и $g_3 \overset*\to g_4$ , а также элемент g_5 , такой, что $f" \overset*\to g_5$ и $g_4 \overset*\to g_5$ . Этот элемент удовлетворяет условию леммы (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Переход от к s+1 иллюстрируется следующей диаграммой ( рис. 6.2). Пусть g_1 и g_2 удовлетворяют псевдолокальному условию слияния с цепочкой из s+2 элементов: $\smu{1} g_1 =f_0 , f_1 , \dots, f_s , f_{s+1}=g_2$ . По предположению индукции элементы f_1 и g_2 удовлетворяют условию слияния (элемент g_4 ). Существование элементов g_5 , g_6 и g_7 в приведенной диаграмме следует из предположения о том, что элементы, которые получены редукцией элементов, следующих за , в частности, g_1 ,f_1
,g_2 , удовлетворяют условию слияния.

Следующая теорема перечисляет ряд условий, которые равносильны определению базиса Гребнера. Следует отметить, что среди них содержатся условия (6') и (7') и , позволяющие за конечное число шагов проверить, является ли выписанная система образующих подмодуля его базисом Гребнера.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Базисы Гребнера

Вопросы и ответы