НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1644 / 57 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

9.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. правильным если из условия $\smu{1} \ord\theta_1< \textrm{ord}\theta_2$ $(\theta_1,\theta_2\in T)$ следует $\smu{1} \theta_1 b_i<\theta_2 b_j$ для всех $1\smu{1} \leq i,j\leq n$ .

9.12. ПРИМЕР. Пусть задан ранжир на множестве мономов . Будем сравнивать термы вида $(\theta, i)$ по их последней координате и только в случае равенства ее для двух термов переходить к сравнению мономов. Полученный таким образом ранжир на T_F не является правильным.

9.13. ПРИМЕР. Пусть $\phi_1,\phi_2\in T_F$ . Будем считать, что $\phi_1=(j_1,\theta_1)<\phi_2=(j_2,\theta_2)$ тогда и только тогда, когда

либо $\textrm{ord}\theta_1<\textrm{ord}\theta_2$ ;
либо $\textrm{ord}\theta_1=\textrm{ord}\theta_2$ и ;
либо $\textrm{ord}\theta_1=\textrm{ord}\theta_2$ , и $\theta_1<\theta_2$ относительно лексикографического порядка при фиксированной нумерации переменных.

Этот ранжир является правильным. Мы будем называть его стандартным.

Отметим, что по определению ранжира множество термов T_F вполне упорядочено относительно каждого ранжира.

9.14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть задан ранжир на множестве термов T_F , и пусть $\phi_1,\phi_2\in T_F$ . Будем говорить, что терм $\phi_1$ ниже(выше) рангом, чем $\phi_2$ , если $\phi_1<\phi_2$ $(\phi_1>\phi_2)$ .

Кроме отношения порядка на T_F , определим отношение частичного порядка $\ll$ следующим образом:

$\begin{equation} \phi_1\ll\phi_2\iff \exists \theta\in T \mid \theta\phi_1=\phi_2. \end{equation}$

( 9.3)

В этом случае будем говорить, что терм $\phi_1$ делит $\phi_2$ . Из (1) следует, что < совместно с

$\ll$

( 9.4)

, т.е.

$\begin{equation} \phi_1\ll\phi_2\implies \phi_1\le\phi_2. \end{equation}$

9.15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой элемент $f \in F\setminus \{ 0\}$ допускает единственное представление в виде конечной суммы:

$f=\smash[b]{\sum_{i=1}^r} c(f,\phi_i )\phi_i,\quad 0 \ne c(f,\phi_i)\in K,\ \phi_i\in T_F,\label{4.1.7}\\ \phi_r<\phi_{r-1}<\dots<\phi_1.\notag$

Определим лидер элемента

как $\textbf{u}_f= \phi_1$ и старший коэффициент как $\textrm{Hcoeff}(f)= c(f,\phi_1 )$ . Определим $\textbf{u}_{0}= 0$ , $\textrm{Hcoeff}(0)=0$ . Аналогично, $\textbf{u}_B=\{ \textbf{u}_f\mid f\in B\}$ для любого конечного множества $B \subseteq F$ , $\textbf{u}_M$ для любого подмодуля $M \subseteq F$ обозначает подмодуль, порожденный множеством $\{ \textbf{u}_f\mid f \in M\}$ .

Пусть - свободный -модуль и $f,g\in F$ . Будем говорить, что элемент ниже рангом, чем , и писать $\textrm{rk} f< \textrm{rk} g$ , если $\textbf{u}_f<\textbf{u}_g$ . Будем говорить, что элемент выше рангом, чем , и писать $\textrm{rk} f>\textrm{rk} g$ , если $\textbf{u}_f>\textbf{u}_g$ . Если $\textbf{u}_f=\textbf{u}_g$ , то будем говорить, что элементы и имеют одинаковый ранг. Ясно, что различные элементы могут иметь одинаковый ранг.

9.16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $B \subset F\setminus \{ 0\}$ - конечное множество образующих некоторого -модуля $M \subseteq F$ (без потери общности можно предположить, что $\textrm{Hcoeff}(g) = 1$ для любого $g \in B$ ). Определим процесс редукции следующим образом: $f \underset B\to f'$ , если $f,f' \in F$ и существуют терм $t \in T_F$ , $\zeta \in T(X)$ и $g \in B$ , такие, что $c = c(f,t) \ne0$ , $t = \zeta \textbf{u}_g$ , $f' = f - c\zeta g$ .

9.17. ЛЕММА. Пусть $f,f'\in F$ и $f\underset B\to f'$ . Тогда $\rk f\geq\rk f'$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение леммы следует из того, что отношение > является линейным порядком на множестве термов T_F и свойства (2).

В дальнейшем будем опускать указание на множество , если это не приведет к двусмысленности или если выбор множества несуществен. Символ $\overset+{\underset B\to}$ обозначает транзитивное, а $\overset*{\underset B\to}$ - рефлексивноранзитивное замыкание отношения $\underset B\to$ . Элемент называется нередуцируемым, если не существует элемента $f' \neq f$ , такого, что $f\underset B\to f'$ , в противном случае называется редуцируемым.

9.18. ПРИМЕРЫ.

Пусть , т.е. - векторное пространство над полем . Рассмотрим стандартный ранжир на . Если $\boldsymbol v$ - вектор, у которого первая ненулевая координата стоит на -м месте, то редукция вектора $\boldsymbol w$ относительно $\boldsymbol v$ приводит к обнулению -й координаты вектора $\boldsymbol w$ путем вычитания соответствующего кратного вектора $\boldsymbol v$ .
Пусть - поле, и , т.е. - кольцо многочленов от одной переменной. Рассмотрим стандартный ранжир на . Пусть $B=\{x^3-1;x^2-1\}$ . Тогда $x^4\smash[b]{\underset B\to} x$ и $x^4\underset B\to x^2\underset B\to 1$ .

9.19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть на свободном -модуле дано отношение редукции $\underset B\to$ и вычислимая функция $\textrm{Sel:} F\to F$ такая, что $f\underset B\to \textrm{Sel}(f)$ для любого редуцируемого элемента $f\in F$ . Рассмотрим вычислимую функцию , определяемую рекурсивно формулой

$S(f):=\begin{cases} f, &\text{ если f нередуцируем;}\\ S(\Sel(f)), &\text{ если f редуцируем.} \end{cases}$

Функцию

такого вида назовем нормальной редукцией или алгоритмом нормальной формы для $\overset * {\underset B \to}$ . Например, редуцируемые термы выбираются в порядке убывания относительно полного упорядочения термов, а при фиксированном терме соотношения выбираются в том порядке, как они располагаются в множестве

.

9.20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частичную редукцию определим как нормальную редукцию, осуществляемую только до тех пор, пока редуцируется лидер.

9.21. ЛЕММА. Если $f\overset *{\underset B\to}f'$ , то элементы и принадлежат одному и тому же смежному классу модуля F/M , где - подмодуль, порожденный множеством .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. $g \in B$ , следовательно, $c\zeta g \in M$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Базисы Гребнера

Вопросы и ответы