Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1603 / 41 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Аннотация: В данной лекции рассматривается определение целозначных многочленов, их основные свойства, а также размерностные многочлены матрицы. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Определение целозначных многочленов и их основные свойства

11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен f(t) от переменной t с рациональными коэффициентами называется целозначным если f(t)\in\mathbb Z для всех достаточно больших t\in\mathbb Z.

Очевидно, что всякий многочлен с целыми коэффициентами является целозначным. В качестве примера целозначного многочлена, коэффициенты которого не являются целыми числами, рассмотрим многочлен

\begin{equation}
 \binom tm = \frac{t(t-1)\dots(t-m+1)}{m!}\quad (m \in Z, m \geq 1) 
\end{equation} ( 11.1)
который для любого целого t\ge m > 0 задает число сочетаний из t по m.

Иногда мы будем рассматривать выражение \binom tm для неположительных значений m, полагая

\begin{equation}
  \binom t0 =1,\quad \binom tm=0\quad \text{ для } m < 0.
\end{equation} ( 11.2)
Мы также полагаем
{\binom tm}_+ = \begin{cases} \binom tm &  \text{если } t\ge  0\\0  & 
 \text{если }t<0.\end{cases}
Непосредственными вычислениями проверяется, что
\begin{equation}
  \binom {t+1}m =\binom tm +\binom t{m-1}
   \quad\text{для всех $m\in\N$.} 
\end{equation} ( 11.3)

Следующее предложение дает некоторые соотношения между "биномиальными" целозначными многочленами, которые будут использоваться в дальнейшем.

11.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Следующие соотношения выполняются для всех n, p ,r\in   \mathbb N :

\sum_{i=0}^n\binom {t+i}r&=\binom {t+n+1}{r+1}-\binom t{r+1}; ( 11.4)
\sum_{i=0}^n\binom {t+i}i&=\binom {t+n+1}n; ( 11.5)
\sum_{i=0}^n\binom ti\binom k{n-i}&=\binom {t+k}n; ( 11.6)
\sum_{i=0}^n2^i\binom ni\binom ti&=\sum_{i=0}^n\binom
ni\binom{t+i}n; ( 11.7)
\sum_{i=0}^n2^i\binom ni\binom ti&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom
ni\binom{t+i}i. ( 11.8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Справедливость равенств (11.4) и (11.5) может быть легко выведена из (11.3) индукцией по n.

Прежде чем доказывать (11.6)-(11.8), заметим, что если значения целозначных многочленов f(t) и g(t) совпадают для всех достаточно больших целых значений t, то f(t)\equiv
g(t). Поэтому при доказательстве (11.6)-(11.8) мы можем (и будем) предполагать, что t\in  \mathbb Z , t\ge n.

Сравнивая коэффициенты при x^n в тождестве (1+x)^{t+k}=  (1+x)^t(1+x)^k, мы получим (11.6). Для того, чтобы получить (11.7), сначала докажем, что

\begin{equation}
    \sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}=2^k\binom nk
  \end{equation} ( 11.9)
для всех k,n \in \N (как обычно, мы полагаем \binom nk =
0 для k > n ). Действительно, используя непосредственно проверяемое тождество
\binom ni\binom i{n-k}=\binom nk\binom k{i+k-n},
получаем
\begin{align*}
    \sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}&=\sum_{i=0}^n\binom nk\binom k{i+k-n}=
       \binom nk\sum_{i=n-k}^n\binom k{i-(n-k)}\\
    &=\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj=\binom nk (1+1)^k=2^k\binom nk.
  \end{align*}
Теперь для завершения доказательства (11.7) достаточно воспользоваться (11.6) и (11.9):
\begin{align*}
     \sum_{i=0}^n\binom ni\binom {t+i}n&=\sum_{i=0}^n\binom ni\sum_{k=0}^n
        \binom tk\binom i{n-k}\\
     &=\sum_{k=0}^n\binom tk\sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}
        =\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk.
  \end{align*}
Теперь мы можем применить (11.6) и очевидное тождество
\binom ni\binom ik=\binom nk\binom {n-k}{i-k}\quad ( n, k, i \in \N ),
чтобы получить (11.8):
\begin{align*}
      \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i&\binom ni\binom{t+i}i
      =\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\sum_{k=0}^i\binom tk\binom i{i-k}\\
      &=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\sum_{k=0}^n\binom tk\binom ik\\
      &=\sum_{k=0}^n\binom tk\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\binom ik\\
      &=\sum_{k=0}^n\binom tk\binom nk\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom
{n-k}{i-k}\\
      &=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom tk2^k\sum_{i=k}^n(-1)^{n-i}2^{i-k}\binom
        {n-k}{n-i}\\
      &=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom
tk\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{(n-k)-j}2^j\binom
        {n-k}{n-k-j}\\
      &=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk(2-1)^{n-k}=
        \sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk.
  \end{align*}
Доказательство предложения закончено.

Заметим, что если f(t) - целозначный многочлен, то его первая разность \Delta f(t)=f(t+1)-f(t) и следующие разности \Delta^2f(t)=  \Delta(\Delta f(t)), \Delta^3f(t)=\Delta (\Delta^2 f(t)), \etc также являются целозначными многочленами. В частности, из (11.3) следует, что

\begin{equation}
  \Delta\binom tm=\binom t{m-1}\quad (m\in  \mathbb N ).
\end{equation} ( 11.10)

11.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть f(t) - целозначный многочлен степени m. Тогда f(t) можно представить в виде

\begin{equation}
  f(t)=\sum_{i=0}^ma_i\binom {t+i}i,
\end{equation} ( 11.11)
где a_0,a_1,\dots,a_m - целые числа, однозначно определенные многочленом f(t).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разделив многочлен f(t) на \binom {t+m}m в кольце \mathbb Q[t], мы получим f(t)=a_m\binom{t+m}m+r(t), где a_m\in\mathbb Q и \textrm{deg} 
r(t)\le m-1. Разделив r(t) на \binom {t+m-1}{m-1}\mathbb Q[t] ), мы получим f(t)=a_m\binom{t+m}m+  a_{m-1}\binom{t+m-1}{m-1}+r_1(t), где \textrm{deg}  r_1(t)\le
m-2. Продолжая этот процесс, мы придем к выражению

\begin{equation}
    f(t)=\sum_{i=0}^ma_i\binom{t+i}i,\quad
a_i\in\mathbb Q\quad(i=0,1,\dots,m),
   \end{equation} ( 11.12)
где рациональные числа a_0,a_1,\dots,a_m однозначно определены многочленом f(t). Нам нужно показать, что a_i\in\mathbb Z (i=0,1,\dots,m). Будем это делать индукцией по m=\textrm{deg} 
f(t).

Если m=0, то из целозначности многочлена f(t) следует, что f(t)=a_0\in\mathbb Z. Предположим, что m>0 и существование и однозначность представления (11.11) (с целыми коэффициентами a_0,
a_1,\dots,a_m ) доказана для всех целозначных многочленов степени меньшей m. Рассматривая конечные разности обеих частей (11.12) и используя (11.10), мы получаем

\Delta^kf(t) =\sum_{i=0}^{m-k}a_{i+k}\binom {t+i+k}i\quad(k=1,2,\dots,m)
Многочлен \Delta^kf(t) является целозначным, следовательно, \Delta^mf(t)=   a_m\in \mathbb Z. Применяя предположение индукции к многочлену f(t)-  a_m\binom {t+m}m
=\sum\limits_{i=0}^{m-1}a_i\binom {t+i}i (степень которого не превосходит m-1 ), мы получим, что a_0,a_1,\dots,a_{m-1}\in \mathbb Z.

Из предложения 11.3, в частности, следует, что старший коэффициент любого целозначного многочлена f(t) степени m равен \frac {\Delta^m f(t)}{m!}, следовательно, f(t) можно представить в виде

\begin{equation}
     f(t)=\frac {\Delta^mf(t)}{m!}t^m+o(t^m).
   \end{equation} ( 11.13)
(Как обычно, o(t^m) обозначает многочлен с рациональными коэффициентами, степень которого не превосходит m-1.)

Кроме того, поскольку \binom{t+i}i\in\mathbb Z для любых t\in\mathbb Z и i\in\mathbb N, из предложения 11.3 вытекает следующий результат.

11.4. СЛЕДСТВИЕ. Пусть f(t) - целозначный многочлен. Тогда f(s)\in\mathbb Z для всех s\in\mathbb Z (не только достаточно больших).

11.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть f(t)= a_mt^m+a_{m-1}t^{m-1}+\dots+a_1t+   a_0 - целозначный многочлен степени m и s_0\in\mathbb Z. Тогда существует целозначный многочлен g(t) со следующими свойствами:

  1. g(s) = f(s_0+1) + f(s_0+2) +\dots+ f(s) для всех s \in \mathbb Z, s>s_0 ;
  2. \textrm{deg} \; g(t) = m + 1 ;
  3. старший коэффициент многочлена g(t) равен \frac
1{m+1}a_m\cdotp

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 11.3 f(t) можно представить в виде f(t) =\sum\limits_{i=0}^m b_i\binom {t+i}i, где b_0,b_1,\dots,b_m\in
  \mathbb Z , и легко видеть, что b_m=a_m\cdot m!. Следовательно,

f(s_0+1)+f(s_0+2)+\dots+f(s)=\sum_{i=0}^mb_i\sum_{k=0}^{s-s_0-1}\binom{s_0+1+i+k}i
для всех s\in  \mathbb Z , s>s_0. Воспользовавшись соотношением (11.4), можно заменить внутреннюю сумму в правой части последнего уравнения на \binom{s+i+1}{i+1}-\binom{s_0+i+1}{i+1}, следовательно,
\begin{align*}
 \sum_{j=1}^{s-s_0}f(s_0+j)&=\sum_{i=0}^m  b_i\left[
  \binom{s+i+1}{i+1}-\binom{s_0+i+1}{i+1}\right]\\
 &=\sum_{i=0}^mb_i\binom{s+i+1}{i+1}- A,
  \end{align*}
где A=\sum\limits_{i=0}^mb_i\binom {s_0+i+1}{i+1}\in\mathbb Z. Таким образом, целозначный многочлен g(t)=\sum\limits_{i=0}^mb_i\binom{t+i+1}{i+1}-A удовлетворяет всем условиям (1)-(3) (степень этого многочлена равна m+1, и коэффициент при t^{m+1} равен коэффициенту при t^{m+1} в многочлене b_m\binom{t+m+1}{m+1}, т.е. числу \frac{b_m}{(m+1)!}=\frac1{m+1}a_m ). Предложение доказано.

В заключение этого параграфа мы дадим решение некоторых комбинаторных задач, тесно связанных с задачей вычисления дифференциальных и разностных размерностных многочленов.

Для любых целых чисел m и r (m>0, r\ge 0), пусть \mu^+(m,r) обозначает число решений уравнения

\begin{equation}
    x_1+x_2+\dots+x_m=r
  \end{equation} ( 11.14)
в положительных целых числах x_i. Пусть \mu(m,r) обозначает число решений уравнения (11.14) в неотрицательных целых числах x_i, и \bar\mu(m,r) - число решений в целых числах x_i уравнения
\begin{equation}
    |x_1|+|x_2|+\dots+|x_m|= r.
  \end{equation} ( 11.15)

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >