Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1603 / 41 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются редуцированные базисы решетки и редуцирование базиса в решетке. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Редуцированные базисы решетки

19.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решеткой в n -мерном векторном пространстве над полем вещественных чисел \mathbb R или над полем рациональных чисел \mathbb Q называется свободный \mathbb Z -модуль L ранга n, т.е. существует базис b_1,\dots,b_n пространства \mathbb R ^n (соответственно \mathbb Q ^n ), такой, что

\begin{equation*}
  L=\sum\limits  ^n_{i=1}\mathbb Z  b_i = \biggl\{ \sum\limits ^n_{i=1} r_i b_i\ |\ r_i \in\mathbb Z ,\quad
1\leq i\leq n \biggr\}.
\end{equation*}
В этом случае n называется рангом решетки, а множество векторов b_1,\dots,b_n - ее базисом.

19.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Детерминантом d(L) решетки L называется положительное число, определяемое формулой

\begin{equation*}
  d(L) = |\det (b_1 , b_2 ,\dots, b_n )|,
\end{equation*}
для некоторого базиса b_1,b_2,\dots, b_n решетки L.

19.3. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что определение 19.2 является корректным, т.е. d(L) не зависит от выбора базиса решетки L.

Прежде чем дать определение редуцированного базиса решетки, нам необходимо напомнить процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Векторы b_i^* \smu{2}(1\leq  i\leq
n) и вещественные числа \mu_{i,j} (1\leq
j< i\leq n) определяются по индукции формулами

b_i^*&=b_i-\sum\limits _{j=1}^{i-1} \mu_{i,j}b_j^*, ( 19.1)
\mu_{i,j}&=\frac{(b_i , b_j^* )}{(b_j^* ,b_j^* )}. ( 19.2)

Отметим, что b_i^* - проекция вектора b_i на ортогональное дополнение к пространству \sum\limits\limits _{j=1}^{i-1}\mathbb R  b_j в пространстве \sum\limits\limits _{j=1}^i \mathbb R  b_j и что \sum\limits\limits _{j=1}^i \mathbb R  b_j = \smash[t]{\sum\limits\limits
_{j=1}^i} \mathbb R  b_j^* для 1  \leq  i  \leq  n. Таким образом векторы b_1^*,\dots,  b_n^* образуют ортогональный базис пространства \mathbb R ^n.

В дальнейшем символ |\  | используется как для обозначения абсолютной величины вещественных или комплексных чисел, так и для обозначения евклидовой длины вектора в вещественном векторном пространстве.

19.4. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что

\begin{equation*}
  |\det (b_1^*,\dots, b_n^*)| = d(L) =  \prod _{i=1}^n |b_i^* |.
\end{equation*}

\begin{equation*}
  |\det (b_1^*,\dots, b_n^*)| = d(L) =  \prod _{i=1}^n |b_i^* |.
\end{equation*}
Показать, что для любого базиса b_1,\dots, b_n решетки L выполняется неравенство Адамара
\begin{equation}
   d(L) \leq \prod _{i=1}^n |b_i |. 
\end{equation} ( 19.3)

19.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базис b_1,\dots, b_n решетки L называется редуцированным редуцированным, если выполняются неравенства

\begin{equation}
  |\mu_{i,j}| \leq 1/2 \text{ для }1\leq j\leq i\leq n 
\end{equation} ( 19.4)
и
\begin{equation}
  |b_i^* + \mu_{i,i-1}b_{i-1}^*|^2 \geq
\frac34|b_{i-1}^*|^2\quad\text{для}\quad 1 < i \leq n. 
\end{equation} ( 19.5)

Векторы b_i^*+ \mu_{i,i-1}b^*_{i-1} и b_{i-1}^* имеют простой геометрический смысл - это проекции векторов b_i и b_{i-1} на ортогональное дополнение к пространству \sum\limits^{i-2}_{j=1} \mathbb R 
b_j в \sum\limits _{j=1}^i\mathbb R  b_j. Константа 3/4 выбирается в значительной мере произвольно: вместо нее можно взять любое фиксированное вещественное число y, удовлетворяющее условию 1/4 < y < 1.

Грубо говоря, редуцированный базис состоит из "почти ортогональных" векторов, расположенных в порядке "почти неубывания длин".

Использование редуцированных базисов решеток для целей факторизации многочленов основано на следующем свойстве таких базисов: если b_1 ,\dots,b_n - редуцированный базис решетки L, то

\begin{equation*}
  |b_1|^2\leq 2^{n-1}|x|^2
\end{equation*}
для любого вектора x \in L. К доказательству этого свойства и его обобщений мы сейчас и переходим.

19.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть b_1,\dots, b_n - редуцированный базис решетки L в \mathbb R ^n и векторы b_1^*,\dots,b^*_n получены из этого базиса процессом ортогонализации Грама - Шмидта. Тогда

|b_j|^2&\leq 2^{i-1}\cdot |b_i^*|^2\quad\text{для}\quad 1\leq j\leq i\leq n, ( 19.6)
d(L)&\leq \prod_{i=1}^n |b_i|\leq 2^{n(n-1)/4}\cdot d(L), ( 19.7)
|b_1|&\leq 2^{(n-1)/4}\cdot d(L)^{1/n}. ( 19.8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем формулу (19.6). Из формул (19.4) и (19.5) получаем

\begin{equation}
  |b_i^*|^2\geq \left(\frac34-\mu^2_{i,i-1}\right)\cdot
|b^*_{i-1}|^2\geq\frac12\cdot |b_{i-1}^*|^2  
\end{equation} ( 19.9)
для 1 < i \leq n, откуда по индукции выводится неравенство
\begin{align*}
   |b_i|^2  &= |b_i^* |^2  +  \sum\limits ^{i-1 }_{j=1} \mu_{i,j}^2   |b_j^* |^2 \\
   &\leq |b_i^*|^2+\sum\limits _{j=1}^{i-1 }\frac 14 \cdot 2^{i-j }   |b_i^* |^2 \\
   &= \left(1 + \frac 14(2^i - 2)\right)\cdot |b_i^* |^2 \\
   &\leq 2^{i-1}\cdot |b_i^* |^2.
\end{align*}

Из этих формул следует, что

\begin{equation*}
  |b_j|^2\leq 2^{j-1}\cdot |b_j^* |^2  \leq  2^{i-1 }   \cdot |b_i^* |^2
\end{equation*}
для 1\leq j\leq i\leq n. Таким образом, формула (19.6) доказана.

Для доказательства формулы (19.7) достаточно воспользоваться упражнением 19.4 и неравенствами

|b_i^* | \leq |b_i | \leq 2^{(i-1)/2 } \cdot |b_i^*
|.
Полагая j=1 в формуле (19.6) и перемножив левые и правые части этой формулы для i от 1 до n, получим неравенство (19.8). Этим заканчивается доказательство предложения 19.7.

19.8. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что если в формуле (19.5) заменить 3/4 на некоторое вещественное число y, 1/4<y<1, то появляющиеся в формулах (19.6), (19.7) и (19.8) степени числа 2 заменятся на такие же степени числа 4/(4y-1).

19.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть b_1,\dots, b_n - редуцированный базис решетки L. Тогда для любого ненулевого вектора x \in L выполняется неравенство

\begin{equation*}
  |b_1 |^2  \leq  2^{n-1}\cdot |x|^2 .
\end{equation*}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любой вектор x \in L может быть выражен через векторы базиса b_1,\dots,b_n с целыми коэффициентами r_i, а через векторы b^*_1,\dots,b_n^* - в виде линейной комбинации с вещественными коэффициентами r'_i, т.е.

x=\sum\limits^n_{i=1}r_ib_i = \sum\limits ^n_{i=1} r_i'b_i^*.
Если i - наибольший индекс, для которого r_i\ne 0, то |r'_i|=|r_i|\geq
1. Таким образом,
\begin{equation*}
  2^{n-1 }|x|^2\geq 2^{n-1}{r'}^2_i\cdot |b_i^*|^2\geq 2^{n-1 }|b_i^*|^2
    \geq 2^{i-1 }|b_i^*|^2\geq |b_1|^2.
\end{equation*}

Последние два неравенства вытекают из формулы (19.6).

Обобщением полученного результата является следующее

19.10. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть b_1, \dots, b_n - редуцированный базис решетки L, x_1, \dots, x_t - линейно независимые векторы решетки L. Тогда для любого j от 1 до t выполняется неравенство

\begin{equation*}
  |b_j |^2  \leq  2^{n-1 }   \cdot  \max \{ |x_1|^2, \dots, |x_t |^2\} .
\end{equation*}

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выразим векторы x_j через элементы базиса b_i:

x_j=\sum\limits^n_{i=1} r_{ij}b_i,
где r_{ij}\in\mathbb Z (1\leq i\leq  n) для 1\leq
j\leq t. Для каждого фиксированного j через i(j) обозначим наибольшее значение i, для которого r_{ij} \ne 0. Перенумеруем векторы x_j так, чтобы числа i(j) не убывали, т.е. i(1) \leq i(2) \leq \dots 
\leq  i(t). Из доказательства предыдущего предложения можно получить неравенство
\begin{equation}
  |x_j |^2\geq |b_{i(j)}^*|^2\quad\text{для всех $j$ от 1 до
$t$.}
\end{equation} ( 19.10)

Покажем, что j \leq i(j) для всех j от 1 до t. Если это неравенство для некоторого j не выполняется, то все векторы x_1 ,\dots,
x_j принадлежат подпространству \mathbb R  b_1 + \mathbb R  b_2 +  \dots  +  \mathbb R  b_{j-1}, что противоречит линейной независимости векторов x_1, \dots, x_t. Воспользовавшись неравенством j  \leq
i(j) и формулами (19.6) и (19.10), получаем для всех j от 1 до t неравенство

\begin{align*}
  |b_j |^2 &\leq  2^{i(j)-1 }  \cdot |b_{i(j)}^*    |^2 \\
   &\leq2^{n-1 } \cdot |b^*_{i(j)} |^2 \\
   &\leq 2^{n-1 } \cdot |x_j |^2 .
\end{align*}

Этим доказательство предложения 19.10 заканчивается.

< Лекция 8 || Лекция 9: 1234 || Лекция 10 >