Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1603 / 41 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 12:

Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

< Лекция 11 || Лекция 12: 123
Аннотация: В данной лекции рассматривается интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций, а также решение дифференциального уравнения Риша. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Интегрирование логарифмических функций

Пусть \theta _0=x - независимая переменная над вычислимым полем констант K, \theta _1,\dots,\theta _n - последовательность регулярных мономов, \EuScript F=\EuScript F_n=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _n) - соответствующее поле элементарных функций, f\in \EuScript F. Предположим, что n>0, \theta =\theta
_n - логарифм над \EuScript F_{n-1}=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _{n-1}) и что мы умеем интегрировать функции из поля \EuScript F_{n-1}. Опишем алгоритм, позволяющий найти неопределенный интеграл функции f, если он является элементарной функцией, или доказать, что в элементарных функциях f неинтегрируема.

Пусть f(\theta )=p(\theta )+\frac {r(\theta )}{q(\theta )} - разложение функции f в сумму полинома и правильной рациональной дроби (как рациональной функции от \theta с коэффициентами из поля \EuScript F_{n-1} ). Прежде всего покажем, что можно отдельно рассматривать задачу для полиномиальной части p(\theta ) и рациональной части \frac {r(\theta )}{q(\theta )}.

25.1. ЛЕММА (о разложении). Элементарный интеграл функции f(\theta )=p(\theta )+\frac {r(\theta
)}{q(\theta )} существует тогда и только тогда, когда существуют элементарные интегралы функций p(\theta ) и \smash[t]{\frac {r(\theta )}{q(\theta
)}}.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме Лиувилля, если элементарный интеграл существует, то он имеет вид g=v_0+\smash[b]{\sum\limits_{i=1}^m}c_i\log
v_i, т. е. функцию f можно представить в виде

\begin{equation}
  f=v'_0+\sum _{i=1}^mc_i\frac {v'_i}{v_i},
\end{equation} ( 25.1)
где v_0\in  \EuScript F, c_i - алгебраические над K константы, v_i (i=1,\dots,m) - элементы из дифференциального поля, получающегося присоединением к \EuScript F конечного числа алгебраических над K констант. Дифференцирование ' означает дифференцирование по x. Рассматривая (25.1) как тождество в поле \EuScript F_{n-1}(\theta ), мы без потери общности можем предполагать, что v_i (1\leq i<k;\ k\geq 1) - нормированные (со старшим коэффициентом, равным 1) полиномы от \theta, а v_i для k\leq i\leq m - элементы поля \EuScript F_{n-1}. Разложим v_0 в сумму полинома \tilde p(\theta ) от \theta и правильной рациональной дроби \frac {\tilde
r(\theta )}{\tilde q(\theta )} от \theta. Заметим, что \deg_\theta v'_i(\theta)<\deg_\theta
v_i(\theta) (используется то, что старший коэффициент равен 1 и \theta'\in \EuScript F_{n-1} ). Учитывая дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет \theta, после дифференцирования суммы \tilde p(\theta )+ \sum\limits_{i=k}^mc_i\frac {v'_i}{v_i} по x мы получаем полином от \theta с коэффициентами в поле \EuScript F_{n-1}, а продифференцировав по x правильную рациональную функцию (от \theta ), снова получаем правильную рациональную функцию. Лемма о разложении теперь следует из единственности представления произвольной рациональной функции в виде суммы полинома и правильной рациональной функции.

Интегрирование полиномиальной части

Сначала проинтегрируем полиномиальную часть p(\theta ).

Пусть d=\deg_\theta p(\theta), \tilde
d=\deg_\theta\tilde p(\theta). Прежде всего покажем, что \tilde
d\leq d+1. Для этого проверим, что при дифференцировании по x полинома от \theta его степень уменьшается не более, чем на 1. Учитывая, что \theta '\in
\EuScript F_{n-1}, видим, что степень полинома (B\theta ^i)'=B'\theta ^i+iB\theta ^{i-1}\theta ' равна i, если B'\neq 0, т. е. B не является константой. Для того, чтобы степень полинома \sum\limits_{i=0}^k B_i\theta ^i при дифференцировании по x понизилась не менее, чем на два, требуется выполнение следующих условий: B_k=\const, т. е. B'_k=0 и kB_k\theta
'+B'_{k-1}=0, т. е. \theta '=-\frac 1{kB_k} B'_{k-1}. Интегрируя выписанное соотношение, получаем \theta=-\frac 1{kB_k}
B_{k-1}+c, где c - константа интегрирования. По предположению, \theta является регулярным мономом, т. е. трансцендентен над полем \EuScript F_{n-1}, которому принадлежит правая часть. Таким образом полученное противоречие показывает, что при дифференцировании по x полинома от \theta его степень понижается не более, чем на 1.

Интегрируем полиномиальную часть методом неопределенных коэффициентов. Пусть p(\theta )=\sum\limits_{i=0}^d A_i\theta^i, \tilde
p(\theta )=\sum\limits_{i=0}^{d+1} B_i\theta^i, B_i\in\EuScript F_{n-1} при i\geq
1, B_0 принадлежит некоторому элементарному расширению поля \EuScript F_{n-1}. Как показано в предыдущем абзаце, старший коэффициент B_{d+1} является константой, обозначим ее b_{d+1}. Для нахождения остальных коэффициентов B_i, i=d,d-1,\dots,0, мы получаем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \theta, систему дифференциальных уравнений

\begin{equation}
  A_i=B'_i+(i+1)B_{i+1}\theta '.
\end{equation} ( 25.2)
Предположим, что элемент B_{i+1} уже определен с точностью до аддитивной константы b_{i+1} (в частности, можно считать, что B_{d+1}=0 ). Для определения константы b_{i+1} и элемента B_i рассмотрим подробнее уравнение (25.2). Перепишем это уравнение в виде
B_i=\int (A_i-(i+1)(B_{i+1}+b_{i+1})\theta ') = -(i+1)b_{i+1}\theta  +\int
A_i-(i+1)B_{i+1}\theta '.
Элемент A_i-(i+1)B_{i+1}\theta' принадлежит полю \EuScript F_{n-1}, и мы можем по предположению индукции его проинтегрировать. Необходимым условием интегрируемости исходной функции в классе элементарных функций является то, что \int
A_i-(i+1)B_{i+1}\theta '=c_i\theta +\alpha, где c_i - константа (алгебраическая над K ), а \alpha \in  \EuScript F_{n-1}. Если же это условие выполнено, то мы получаем значение константы b_{i+1}=-\frac {c_i}{(i+1)} и значение коэффициента B_i. Интегрируя уравнение (25.2) при i=0, т. е. вычисляя B_0, нужно отказаться от условия \alpha\in\EuScript F_{n-1}, достаточно, чтобы существовал элементарный интеграл \int A_0-B_1\theta'. Этот интеграл определяется с точностью до аддитивной константы, которая является константой интегрирования и не может быть определена при рассматриваемой постановке задачи.

< Лекция 11 || Лекция 12: 123