Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша
Интегрирование логарифмических функций
Пусть - независимая переменная над вычислимым
полем констант
,
- последовательность регулярных
мономов,
-
соответствующее поле элементарных функций,
. Предположим, что
,
- логарифм над
и что мы
умеем интегрировать функции из поля
.
Опишем алгоритм, позволяющий найти неопределенный интеграл функции
, если
он является элементарной функцией, или доказать, что в элементарных функциях
неинтегрируема.
Пусть
- разложение функции
в сумму полинома
и правильной рациональной дроби (как рациональной функции от
с коэффициентами
из поля
). Прежде всего покажем, что можно отдельно
рассматривать задачу
для полиномиальной части
и рациональной части
.
25.1. ЛЕММА (о разложении).
Элементарный интеграл функции
существует тогда и только тогда, когда существуют элементарные интегралы
функций
и
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно теореме Лиувилля, если элементарный интеграл
существует, то он имеет вид , т. е.
функцию
можно представить в виде
![]() |
( 25.1) |
![v_0\in \EuScript F](/sites/default/files/tex_cache/342a163c4bddecbb60dcac68476b47f7.png)
![c_i](/sites/default/files/tex_cache/96fafac0c054b9eb47d3f630ed02c289.png)
![K](/sites/default/files/tex_cache/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![v_i](/sites/default/files/tex_cache/1df181eaa1bb40a0067c06ead197170d.png)
![(i=1,\dots,m)](/sites/default/files/tex_cache/236ae3235ae7cd50aa8bbd15c79be5ca.png)
![\EuScript F](/sites/default/files/tex_cache/8d8bfefc6f46d19b5e17ebeadf240d48.png)
![K](/sites/default/files/tex_cache/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
!['](/sites/default/files/tex_cache/3590cb8af0bbb9e78c343b52b93773c9.png)
![x](/sites/default/files/tex_cache/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![\EuScript F_{n-1}(\theta )](/sites/default/files/tex_cache/de829d96a33c01758dd06e70a8f2eef2.png)
![v_i](/sites/default/files/tex_cache/1df181eaa1bb40a0067c06ead197170d.png)
![(1\leq i<k;\ k\geq 1)](/sites/default/files/tex_cache/1ea9511f9d7902f8f8c38a2a00e6a72d.png)
![\theta](/sites/default/files/tex_cache/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
![v_i](/sites/default/files/tex_cache/1df181eaa1bb40a0067c06ead197170d.png)
![k\leq i\leq m](/sites/default/files/tex_cache/fd553ff6acb3f741f2f19ab8300ce7b7.png)
![\EuScript F_{n-1}](/sites/default/files/tex_cache/a4772d8118b8ab94422e2044fdeca45a.png)
![v_0](/sites/default/files/tex_cache/8bcda5f030288c05bb245be5d42b3c07.png)
![\tilde p(\theta )](/sites/default/files/tex_cache/e6cd2c8adbaf1e34abf8c71bc27e5ba7.png)
![\theta](/sites/default/files/tex_cache/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
![\frac {\tilde
r(\theta )}{\tilde q(\theta )}](/sites/default/files/tex_cache/030f3b9af1580bba77f19f74e266373d.png)
![\theta](/sites/default/files/tex_cache/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
![\deg_\theta v'_i(\theta)<\deg_\theta
v_i(\theta)](/sites/default/files/tex_cache/710394bc6b9701486d3ce46e0ecff3a3.png)
![\theta'\in \EuScript F_{n-1}](/sites/default/files/tex_cache/d7e91042006d8ca21899e35281c1091a.png)
![\theta](/sites/default/files/tex_cache/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
![\tilde p(\theta )+ \sum\limits_{i=k}^mc_i\frac {v'_i}{v_i}](/sites/default/files/tex_cache/784436cb3c56c397259ad5b62b6c5a0f.png)
![x](/sites/default/files/tex_cache/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![\theta](/sites/default/files/tex_cache/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
![\EuScript F_{n-1}](/sites/default/files/tex_cache/a4772d8118b8ab94422e2044fdeca45a.png)
![x](/sites/default/files/tex_cache/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![\theta](/sites/default/files/tex_cache/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png)
Интегрирование полиномиальной части
Сначала проинтегрируем полиномиальную часть .
Пусть ,
. Прежде всего покажем, что
.
Для этого проверим, что при дифференцировании по
полинома от
его степень
уменьшается не более, чем на 1. Учитывая, что
, видим, что степень полинома
равна
, если
, т. е.
не является
константой.
Для того, чтобы степень полинома
при дифференцировании по
понизилась не менее, чем на два, требуется выполнение следующих условий:
, т. е.
и
, т. е.
.
Интегрируя выписанное соотношение, получаем
, где
- константа интегрирования.
По предположению,
является регулярным мономом, т. е.
трансцендентен над полем
, которому принадлежит правая часть. Таким образом
полученное
противоречие показывает, что при дифференцировании по
полинома
от
его степень понижается не более, чем на 1.
Интегрируем полиномиальную часть методом неопределенных коэффициентов.
Пусть ,
,
при
,
принадлежит некоторому элементарному расширению
поля
.
Как показано в предыдущем
абзаце, старший коэффициент
является константой, обозначим
ее
. Для нахождения остальных коэффициентов
,
,
мы получаем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
,
систему дифференциальных уравнений
![]() |
( 25.2) |
![B_{i+1}](/sites/default/files/tex_cache/43b5563d202e9460d5f7a941ae8ced3d.png)
![b_{i+1}](/sites/default/files/tex_cache/e1dcc8ba56b4c33660b79341a02c156e.png)
![B_{d+1}=0](/sites/default/files/tex_cache/1252a2002cf408773ab1a15ab069fc15.png)
![b_{i+1}](/sites/default/files/tex_cache/e1dcc8ba56b4c33660b79341a02c156e.png)
![B_i](/sites/default/files/tex_cache/889416bc9630b10072fd7cc713ea8c0a.png)
![B_i=\int (A_i-(i+1)(B_{i+1}+b_{i+1})\theta ') = -(i+1)b_{i+1}\theta +\int
A_i-(i+1)B_{i+1}\theta '.](/sites/default/files/tex_cache/4f73f0721662bb9fc3e15dcdcffb7c16.png)
![A_i-(i+1)B_{i+1}\theta'](/sites/default/files/tex_cache/25a691b19a263e40361b8dfd7c3695f7.png)
![\EuScript F_{n-1}](/sites/default/files/tex_cache/a4772d8118b8ab94422e2044fdeca45a.png)
![\int
A_i-(i+1)B_{i+1}\theta '=c_i\theta +\alpha](/sites/default/files/tex_cache/a2c4f21c9e8272901f427d5113e70967.png)
![c_i](/sites/default/files/tex_cache/96fafac0c054b9eb47d3f630ed02c289.png)
![K](/sites/default/files/tex_cache/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![\alpha \in \EuScript F_{n-1}](/sites/default/files/tex_cache/36964dcf2f07f7fa90269d7fc254a844.png)
![b_{i+1}=-\frac {c_i}{(i+1)}](/sites/default/files/tex_cache/dd25faf37d5af9324246919b432247d5.png)
![B_i](/sites/default/files/tex_cache/889416bc9630b10072fd7cc713ea8c0a.png)
![i=0](/sites/default/files/tex_cache/8a8f1e8e0a73d8e44a17653f830f7947.png)
![B_0](/sites/default/files/tex_cache/c04ce5bbcf0b34afa4487b552a897d34.png)
![\alpha\in\EuScript F_{n-1}](/sites/default/files/tex_cache/0907805440ea687fc58a0314419fc890.png)
![\int A_0-B_1\theta'](/sites/default/files/tex_cache/052b64ad49445e23e4a7eb753fe218da.png)