Базисы Гребнера

Инволютивные базисы

Напомним основные определения и результаты теории базисов Гребнера в простейшей постановке, т. е. для полиномиальных идеалов.

Пусть - поле, - кольцо многочленов над полем , - идеал кольца . Как идеал , так и фактор-кольцо являются линейными -пространствами, в общем случае бесконечномерными. Как найти базисы этих пространств? В кольце , рассматриваемом как -пространство, имеется базис, состоящий из множества всех мономов. Естественно попытаться разбить множество на две части так, что образы элементов из в фактор-кольце образуют базис -пространства , а элементы базиса -пространства находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами множества .

Предположим, что на множестве мономов задан допустимый порядок, т.е. отношение , удовлетворяющее условиям:

1. для любого нетривиального монома ;
2. если мономы и удовлетворяют соотношению , то для любого монома .

Таким образом для любого многочлена можно определить его старший моном и старший коэффициент , и множество мономов разбивается на два подмножества: состоит из мономов, которые не являются старшими мономами ни для одного элемента , и состоит из мономов, которые являются старшими мономами для элементов из .

Теперь возникает вопрос: как описать множества и конструктивно?

Ответ на него, а также на многие другие вопросы конструктивной теории полиномиальных идеалов, дает теория базисов Гребнера. Имеется несколько эквивалентных определений базисов Гребнера (см., [ 26 ] или [ 16 ] , в [ 14 ] стр.40] эти определения рассматриваются с учетом выбора алгоритма нормальной формы). Например, множество называется базисом Гребнера идеала , если любой элемент допускает представление вида , где , , и выполнено условие при (представление такого вида называется -представлением). Это определение, во-первых, не является конструктивным, во-вторых, определяет базис Гребнера неоднозначно. Конструктивный метод построения базиса Гребнера дает алгоритм пополнения (см.упражнение 9.38). Для того, чтобы выделить из всех базисов Гребнера некоторый однозначно определенный, введем понятие авторедуцированного множества.

Множество многочленов называется авторедуцированным, если для любого ни один из одночленов, входящих в с ненулевым коэффициентом, не делится ни на один из мономов для . Базис Гребнера, который является авторедуцированным множеством и старшие коэффициенты элементов которого равны 1, определен однозначно для любого идеала . Назовем такой базис авторедуцированным базисом Гребнера.

Предположим, что мы знаем авторедуцированный базис Гребнера идеала . Чтобы получить базис как линейного пространства, нам достаточно указать процедуру, которая каждому моному ставит в соответствие некоторый элемент , старший моном которого делит , т.е. для некоторого монома . Тогда множество многочленов образует базис линейного пространства . Любую такую процедуру назовем алгоритмом нормальной формы.

10.1. ПРИМЕР. Простейший алгоритм нормальной формы состоит в том, что элементы авторедуцированного базиса Гребнера нумеруются в каком-либо порядке индексами от 1 до и каждому моному ставится в соответствие элемент с минимальным индексом, такой, что . Существуют, однако, и более сложные алгоритмы нормальной формы.

Рассмотрим этот пример подробнее. Пусть авторедуцированный базис Гребнера идеала состоит из многочленов . Тогда базис линейного пространства получается объединением следующих множеств множества всех произведений , где ; множества произведений , таких, что ; множества произведений , таких, что ; множества произведений , таких, что .

Этот же базис можно описать несколько по-другому.

Для каждого выделим максимальное подмножество переменных такое, что произведение на любой моном, включающий только эти переменные (обозначим множество таких мономов ), принадлежит . Назовем эти переменные мультипликативными для монома , остальные переменные назовем немультипликативными. Исключим из моном и все его произведения на мономы из . Если полученное множество непусто, то возьмем в нем младший моном и повторим процесс для него. Таким образом мы можем представить базис линейного пространства в виде объединения конечного набора множеств, каждое из которых описывается некоторым многочленом и набором мультипликативных переменных для этого многочлена. Полученный базис представляет собой пример инволютивного базиса. В коммутативную алгебру понятие инволютивного базиса было введено Жарковым и Блинковым [ 8 ] , [ 30 ] .

Итак, для построения инволютивного базиса мы воспользовались базисом Гребнера, алгоритмом нормальной формы и процедурой разделения переменных на мультипликативные и немультипликативные для некоторого набора мономов.

Напомним алгоритмы проверки того, что заданное множество является базисом Гребнера порождаемого им идеала и построения базиса Гребнера по заданной системе образующих идеала (этот алгоритм называется алгоритмом пополнения ).

Пусть дано множество многочленов и отношение порядка на множестве мономов . Для проверки того, что является базисом Гребнера идеала относительно порядка <, используется некоторый алгоритм нормальной формы, от выбора которого результат не зависит. Алгоритм состоит в том, что формируется множество -полиномов и проверяется, что каждый из этих полиномов редуцируется к нулю. Для повышения эффективности алгоритма используются различные критерии, позволяющие сузить круг рассматриваемых -полиномов, например, "правило треугольника".