Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3791 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

2.6. Вариационные итерационные методы

2.6.1. Связь между вариационной задачей и задачей решения СЛАУ

Пусть \mathbf{u} \in L^n , где Ln есть n -мерное евклидово пространство. Рассмотрим квадратичный функционал от \mathbf{u}, называемый функционалом энергии:

\Phi (\mathbf{u}) = (\mathbf{Au,u}) - 2(\mathbf{f,u}) + c,

где \mathbf{A} — линейный оператор, \mathbf{f} \in L^n, c — константа. Этот функционал совпадает с квадратичным функционалом \Phi (\mathbf{u}) = (\mathbf{A}^*\mathbf{u,u}) - 
2(\mathbf{f,u}) + c, где \mathbf{A}^* — сопряженный к \mathbf{A} оператор. Действительно, (\mathbf{Au,u}) \equiv 
(\mathbf{u},\mathbf{A}^*\mathbf{u}) по определению сопряженного оператора и (\mathbf{u},\mathbf{A}^*\mathbf{u}) = (\mathbf{A}^*\mathbf{u},\mathbf{u}) в силу коммутативности скалярного произведения. Тогда

$ \Phi (\mathbf{u}) = \left( {\frac{\mathbf{A} + \mathbf{A}^*}{2}\mathbf{u,u}}\right) - 2(\mathbf{f,u}) + c, $
$ \mbox{так как } \frac{1}{2}(\mathbf{Au,u})  + 
\frac{1}{2}(\mathbf{A}^*\mathbf{u,u}) = 
\left({\frac{\mathbf{A} + \mathbf{A}^*}{2}\mathbf{u,u}}\right). $

Без ограничения общности предположим, что оператор \mathbf{A} — самосопряженный, \mathbf{A} = \mathbf{A}^*. В противном случае будем рассматривать задачу с оператором

\frac{1}{2}(\mathbf{A}+{\mathbf{A}^*})
при решении вариационной задачи.

Будем также считать, что \mathbf{A} — положительный оператор, т.е. \mathbf{A} > 0, это означает, что для любого ненулевого вектора \mathbf{u} выполнено {(\mathbf{Au},
\mathbf{u}) > 0}.

Поставим задачу об отыскании элемента \mathbf{v}, придающего наименьшее значение функционалу \Phi (\mathbf{u}):

\Phi ({\mathbf{v}}) = \min\limits_{\mathbf{u} \in L^n}\Phi (\mathbf{u}).

Теорема. Пусть \mathbf{A} = {\mathbf{A}*} > 0. В этом случае существует единственный элемент {\mathbf{v}} \in L^n , придающий наименьшее значение квадратичному функционалу \Phi (\mathbf{u}) = 
(\mathbf{Au,u}) - (2\mathbf{f,u}) + c, являющийся решением СЛАУ \mathbf{Au}= \mathbf{f}.

Доказательство.

СЛАУ \mathbf{Au}= \mathbf{f} имеет единственное решение \mathbf{v}, поскольку \mathbf{A} является невырожденным оператором в силу его положительной определенности. Покажем, что в этом случае при {\mathbf{Av}} - \mathbf{f} = 0 для любого вектора \Delta имеет место \Phi ({\mathbf{v}} + {\mathbf{\Delta }}) > \Phi ({\mathbf{v}}), т.е. при \mathbf{u} = \mathbf{v} достигается минимум квадратичного функционала \Phi (\mathbf{u}).

Действительно,

\begin{gather*}
\Phi (\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) = (\mathbf{A}(\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }), \mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) - 2(\mathbf{f,v} + \mathbf{\Delta }) + c = \\ 
= (\mathbf{Av} + \mathbf{A\Delta }\mathbf{,v} + \mathbf{\Delta }) - 2(\mathbf{f,v} + \mathbf{\Delta }) + c =  \\ 
 = (\mathbf{Av,v}) + (\mathbf{Av}\mathbf{,\Delta }) + (\mathbf{A\Delta }
\mathbf{,v}) + (\mathbf{A\Delta }\mathbf{,\Delta }) - 2(\mathbf{f}\mathbf{,v}) - 2(\mathbf{f}\mathbf{,\Delta }) + c = \\ 
= (\mathbf{Av}\mathbf{,v}) + 2(\mathbf{Av}\mathbf{,\Delta }) + (\mathbf{A\Delta }\mathbf{,\Delta }) - 2(\mathbf{f}\mathbf{,v}) - 2(\mathbf{f}\mathbf{,\Delta }) + c = \\ 
= \left[{(\mathbf{Av}\mathbf{,v}) - 2(\mathbf{f}\mathbf{,v}) + c}\right] + 2(\mathbf{Av}\mathbf{,\Delta }) - 2(\mathbf{f}\mathbf{,\Delta }) + (\mathbf{A\Delta }\mathbf{,\Delta }) = \\ 
= \Phi (\mathbf{v}) + 2(\mathbf{Av}-\mathbf{f},\mathbf{\Delta }) + (\mathbf{A\Delta }\mathbf{,\Delta }) = \Phi (\mathbf{v}) + (\mathbf{A\Delta }\mathbf{,\Delta }) > \Phi (\mathbf{v}),
\end{gather*}

т.е. при \mathbf{Av} = \mathbf{f} и любом \Delta имеет место \min\limits_\mathbf{u}\Phi (\mathbf{u}). Докажем, что верно и обратное утверждение. Если элемент доставляет минимальное значение функционалу энергии, то он является решением системы линейных уравнений \mathbf{Av} =
\mathbf{f}. Из курса математического анализа известно, что в точке минимума должно выполняться условие grad \Phi (\mathbf{u}) = 0,\quad \mathbf{A} > 0. Вычисляя градиент, приходим к условию минимума функционала grad \Phi (\mathbf{u}) = 2\mathbf{Au}- 2\mathbf{f}= 0. Таким образом установлена эквивалентность вариационной задачи (отыскание элемента, придающего минимум \Phi (\mathbf{u}) ) и задачи о нахождении решения СЛАУ.

Заметим, что СЛАУ с самосопряженным и положительно определенным оператором \mathbf{A} представляют собой важный класс задач в математической физике, в частности, они возникают при решении краевых задач для эллиптических уравнений. При необходимости можно произвести симметризацию по Гауссу исходной системы.