Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3791 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

2.3. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы

Понятия согласованных норм матриц и векторов позволяют оценить погрешности, возникающие при численном решении СЛАУ. Пусть и матрица, и правая часть системы заданы с некоторой погрешностью, тогда наряду с системой

\mathbf{Au}= \mathbf{f} ( 2.4)

рассматривается система

(\mathbf{A}+ \Delta\mathbf{A})(\mathbf{u}+ \Delta\mathbf{u}) = \mathbf{f}+ \Delta\mathbf{f}. ( 2.5)

Теорема. Пусть правая часть и невырожденная матрица СЛАУ (2.4) вида \mathbf{Au}= \mathbf{f}, \mathbf{u} \in L^n, \mathbf{f} \in L^n, получили приращения \Delta\mathbf{f} и \Delta\mathbf{A} соответственно. Пусть существует обратная матрица \mathbf{A}^{-1} и выполнены условия

$ \|\mathbf{A}\| \ne 0, \mu \frac{\|\mathbf{\Delta A}\|}{\|\mathbf{A}\|}< 1 $
, где \mu  = \|\mathbf{A}\| \cdot \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| . В этом случае оценка относительной погрешности решения \|{\Delta\mathbf{u}}\|/\|\mathbf{u}\| удовлетворяет неравенству

$  \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \frac{\mu}
{1 - \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}} \left({\frac{\|\Delta
\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|}+ \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}
{\|\mathbf{A}\|}}\right). $

Доказательство.

Из (2.5) следует, что \Delta\mathbf{u} = {\mathbf{A}}^{- 1}(\Delta\mathbf{f}- \Delta\mathbf{A} \mathbf{u}- \Delta\mathbf{A} \Delta\mathbf{u}). Переходя в этом равенстве к норме и использовав неравенство треугольника, получаем

$ \|{\Delta\mathbf{u}}\| \le \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|{\Delta\mathbf{f}}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|{\Delta\mathbf{A}}\| 
\|\mathbf{u}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|{\Delta\mathbf{A}}\| \|{\Delta\mathbf{u}}\| , \mbox{ или } \\ 
\|{\Delta\mathbf{u}}\| \le \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\| \frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} \|\mathbf{f}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|} \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{u}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|} \|\Delta\mathbf{u}\|.
$

Вводя обозначение \mu (\mathbf{A}) = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| 
\cdot \|\mathbf{A}\|, перепишем последнее равенство в виде

$ \|\Delta\mathbf{u}\| \left(1 - \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}
{\|\mathbf{A}\|}\right) \le \mu \frac{\|\Delta \mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} 
\frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{A}\|} +  \mu \cdot \frac{\|\Delta \mathbf{A}\|}
{\|\mathbf{A}\|} \|\mathbf{u}\|  \le \\ 
\le \mu \frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} \|\mathbf{u}\| + \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|} \|\mathbf{u}\| = \mu \left(\frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} + \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}\right) \|\mathbf{u}\| .
$

Заметим, что

$ \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{A}\|} \le \|\mathbf{u}\| $
т.к. \|\mathbf{f}\| = \|\mathbf{Au}\| \le \|\mathbf{A}\| \cdot \|\mathbf{u}\|.

Тогда для оценки относительной погрешности решения окончательно получим

$ \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \frac{\mu}
{1 - \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}} (\frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} + \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}).
$ ( 2.6)

При \Delta  A \approx  0 получаем оценку при наличии погрешности только правых частей

$ \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \mu \frac{\|\mathbf{\Delta f}\|}{\|\mathbf{f}\|},$ ( 2.7)

если в (2.5) положить \Delta\mathbf{A} \cdot \Delta \mathbf{u}  \approx  0, то

$ \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \mu (\frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} + \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}).
$ ( 2.8)

В результате получено важное соотношение, показывающее, на сколько возрастают относительные ошибки решения СЛАУ в случае наличия относительных ошибок при задании правых частей и элементов матриц.

Величина

\mu (\mathbf{A}) = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|\mathbf{A}\|} ( 2.9)

называется числом обусловленности матрицы \mathbf{A}. Число обусловленности определяет, насколько погрешность входных данных может повлиять на решение системы (2.1) . Почти очевидно, что всегда \mu \ge 1. Действительно

1 = \|\mathbf{E}\| = \left\|{\mathbf{A^{-1}A}}\right\| \le 
\left\|\mathbf{A^{-1}}\right\| \|\mathbf{A}\| = \mu.

При \mu  \approx  1 \div  10 ошибки входных данных слабо сказываются на решении и система (2.1) считается хорошо обусловленной. При \mu  > > 10^{2} \div  10^{3} система является плохо обусловленной.

Пример. Решением системы

\left\{ \begin{array}{l}
  100u + 99v = 199 \\
  99u + 98v = 197 \\
\end{array} \right.

будет пара чисел u = v = 1.

Внесем возмущение в правые части системы:

\left\{ \begin{array}{l}
  100u + 99v = 198,99 \\
  99u + 98v = 197,01. \\
\end{array} \right.

При этом решение заметно изменится: u = 2,97; v = -0,99. Воспользовавшись выбранными согласованными нормами, получим

\begin{gather*} 
{\|\mathbf{f}\|}_1  = 199,\quad {\|\Delta\mathbf{f}\|}_1  = 10^{- 2}, \\
\delta f  = \frac{{\|\Delta\mathbf{f}\|}_1}{{\|\mathbf{f}\|}_1}  \approx  0,5 \cdot 10^{- 4} 
\mbox{ (это очень малая величина),} \\ 
{\|\mathbf{A}\|}_1 = {\left\|\mathbf{A}^{- 1}\right\|}_1 = 199, \mu  = 199 \cdot 199  \approx  4 \cdot 10^4 .
\end{gather*}

Значит,

$ \delta u = \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \mu \frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|}  \approx  4 \cdot 10^4  \cdot \frac{10^{- 4}}{2}= 2 $
, что согласуется с результатами решения возмущенной и невозмущенной задач. Для невозмущенной задачи \|\Delta\mathbf{u}\|  \approx  2, \|\mathbf{u}\| = 1.

Рассмотрим еще одно важное свойство. Число обусловленности матрицы, как было показано ранее, можно определить, как \delta u/\delta f \le \mu (\mathbf{A}), если \Delta\mathbf{A}  \approx  {\mathbf0} при

$ \delta u = \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|}$.
Можно ли найти более тонкую оценку отношения \delta u/\delta f, учитывающую зависимость обусловленности СЛАУ от выбора правых частей? В этом случае параметр обусловленности системы, вообще говоря, зависит и от \mathbf{f}, и от \Delta \mathbf{f}, и удовлетворяет неравенству
$ \nu(\mathbf{f},\Delta\mathbf{f}) \ge \frac{\delta u}{\delta f} =  \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \cdot \frac{\|\mathbf{f}\|}
{\|\Delta\mathbf{f}\|} $.
Его можно определить как точную верхнюю грань отношения
$ \frac{\delta u}{\delta f}$
по \Delta \mathbf{f}, что соответствует наихудшей ситуации. Тогда

$ \nu (\mathbf{f}) = \sup\limits_{\Delta\mathbf{f}} \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\Delta\mathbf{f}\|} = \sup\limits_{\Delta\mathbf{f}} \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u} \|} \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\Delta\mathbf{f}\|} =  \\ 
= \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} \sup\limits_{\Delta\mathbf{f}} \frac{\left\|\mathbf{A}^{- 1}\Delta\mathbf{f}\right\|}{\|\Delta\mathbf{f}\|} = \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| .
$

Далее,

$ \sup\limits_\mathbf{f} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| 
\cdot \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \sup\limits_\mathbf{f} \frac{\|A\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \|\mathbf{A}\| = \mu (\mathbf{A}), $

с другой стороны

$ \inf\limits_\mathbf{f}\nu (\mathbf{f}) = \inf\limits_\mathbf{f} 
\left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} = \inf\limits_\mathbf{f} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \sup\limits_\mathbf{f} {\left(\frac{\|\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{f}\|}\right)}^{- 1} = \\ 
= \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| {\left(\sup\limits_\mathbf{f}\frac{\left\|{\mathbf{A}^{-
1}\mathbf{f}}\right\|}{\|\mathbf{f}\|}\right)}^{- 1} = 1.$

Параметр \nu (\mathbf{f}), характеризующий обусловленность системы, зависит от правых частей. Более тонкая его оценка есть

$ \nu (\mathbf{f}) = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|}$
, причем 1 \le \nu (\mathbf{f}) \le \mu . Так как такую оценку провести не всегда возможно, то чаще используется точная верхняя грань \left\|{\mathbf{A}^{- 1}} \right\| \|\mathbf{A}\|. Такая оценка, конечно, может быть существенно завышенной.

Можно также показать, что для симметричной матрицы \mathbf{A} имеет место \mu  = \left|{\max\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right| / 
\left|{\min\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right\|, т.е. обусловленность СЛАУ зависит от ее спектральных свойств. Это следует из определения третьей нормы матрицы {\|\mathbf{A}\|}_3  = \left|{\max\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right| и соотношения

{\left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\|}_3  = 
{\left|{\min\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right|}^{- 1}
, которое предлагается доказать самостоятельно.