Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3789 / 1085 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Теорема (достаточное условие сходимости метода Якоби ) Итерационный метод Якоби сходится к решению соответствующей СЛАУ, если выполнено условие диагонального преобладания

{|{a_{ii}}| > \sum\limits_{\substack{j = 1 \\ (j \ne i)}}^n{|
{a_{ij}}|}}, {i=1, \ldots, n}. ( 2.24)

Доказательство.

Выполненные условия (2.24) означает, что в любой строке матрицы перехода

{\mathbf{B}} = 
\left( \begin{array}{cccccc}
0 & {- \frac{a_{12}}{a_{11}}} & {- \frac{a_{13}}{a_{11}}} &  \ldots  & {- \frac{a_{1n-1}}{a_{11}}} & {- \frac{a_{1n}}{a_{11}}}\\ 
{- \frac{a_{21}}{a_{22}}} & 0 & {- \frac{a_{23}}{a_{22}}}&  \ldots  & {- \frac{a_{2n-1}}{a_{22}}} & {- \frac{a_{2n}}{a_{22}}}\\ 
\ldots  &  \ldots  &  \ldots  &  \ldots  &  \ldots & \ldots  \\ 
{- \frac{a_{n1}}{a_{nn}}} & {- \frac{a_{n2}}{a_{nn}}} & {- \frac{a_{n3}}{a_{nn}}} &  \ldots  & {- \frac{a_{n,n-1}}{a_{nn}}} & 0 \\
\end{array} \right),

сумма модулей элементов меньше единицы. В этом случае по крайней мере одна из норм матрицы \mathbf{B} меньше единицы. Тогда выполняется достаточное условие сходимости метода простых итераций.

Теорема (критерий сходимости итерационного метода Якоби ). Для сходимости итерационного метода Якоби необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

\left| \begin{array}{cccc}
{\lambda a_{11}} & {a_{12}} &  \ldots  & {a_{1n}}\\ 
{a_{21}} & {\lambda a_{22}} &  \ldots  & {a_{2n}}\\ 
\ldots  &  \ldots  &  \ldots  &  \ldots   \\ 
{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} &  \ldots  & {{\lambda a}_{nn}}\\ 
 \end{array} \right| = 0

по модулю не превосходили единицы.

Доказательство.

Легко проверить, что в силу диагональности \mathbf{D} имеет место

\det ({\mathbf{B}}- \lambda {\mathbf{E}}) = \det \left[{-{\mathbf{D}}^{- 1}({\mathbf{L}} + {\mathbf{U}}) - \lambda {\mathbf{E}}}\right] = \det ( -{\mathbf{D}}^{- 
1}) \cdot \det \left[{({\mathbf{L}} + {\mathbf{U}}) +{\mathbf{D}}\lambda}\right].

Собственными значениями матрицы \mathbf{B} = -\mathbf{D}^{- 1}(\mathbf{L} + \mathbf{U}) являются корни уравнения

\det \left[{({\mathbf{L}}+{\mathbf{U}}) + {\mathbf{D}}\lambda}\right] = 0,

которые в соответствии с критерием сходимости метода простой итерации должны быть по модулю меньше единицы.

Аналогичную теорему можно доказать и для метода Зейделя, однако матрица в этой теореме будет иметь другой вид:

\left( \begin{array}{cccc} 
{\lambda a_{11}} & {a_{12}} &  \ldots  & {a_{1n}}\\ 
{\lambda a_{12}} & {\lambda a_{22}} &  \ldots  & {a_{2n}}\\ 
 \ldots  &  \ldots  &  \ldots  &  \ldots   \\ 
{\lambda a_{n1}} & {\lambda a_{n2}} &  \ldots  & {\lambda a_{nn}}\\ 
\end{array} \right)

Теорема (достаточное условие сходимости метода Зейделя (без доказательства)). Пусть \mathbf{A} — вещественная, симметричная, положительно определенная матрица. В этом случае итерационный метод Зейделя сходится.

Доказательство этой теоремы сводится к проверке того, что выполнение условий теоремы для матрицы \mathbf{A}= \mathbf{L} + \mathbf{D} + {\mathbf{L}}^{T} влечет выполнение условия сходимости итерационного метода с матрицей перехода{(\mathbf{L}+\mathbf{D})}^{-1}\mathbf{L}^T. СЛАУ с вещественной матрицей \mathbf{A} такой, что \det \mathbf{A} \ne 0 может быть симметризована умножением на матрицу {\mathbf{A}}^T:

({\mathbf{A}}^{T}\mathbf{A})\mathbf{u} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{f}

(симметризация Гаусса).

Развитием метода Зейделя является метод релаксации. В этом методе вводится итерационный параметр \tau, называемый параметром релаксации. Представим метод релаксации в матричной форме:

(\tau {\mathbf{Lu}}_{k + 1} + {\mathbf{Du}}_{k + 1}) + (\tau  - 1){\mathbf{Du}}_k + \tau{\mathbf{Uu}}_k = \tau\mathbf{f}.

Выбирая \tau, можно существенно изменять скорость сходимости итерационного метода. Выразим {\mathbf{u}}_{k+1}

{\mathbf{u}}_{k + 1} =  - ({\mathbf{D}} + \tau{\mathbf{L}})^{- 1}\left[{(\tau  - 1)
{\mathbf{D}} + \tau{\mathbf{L}}}\right]{\mathbf{u}}_k + \tau ({\mathbf{D}}+ \tau 
{\mathbf{L}})^{- 1}\mathbf{f}.

В общем случае задача вычисления \tau _{опт} (оптимального итерационного параметра) не решена, однако известно, что 1 < \tau _{опт} < 2. В этом случае итерационный метод называется методом последовательной верхней релаксации или SОR — Successive Over Relaxation. Иногда встречается термин "сверхрелаксация" при 1 < \tau _{опт} < 2. При 0 < \tau  < 1 имеем метод нижней релаксации.