НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 9: Линейное пространство строк над полем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5323 / 593 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Связь решений неоднородной системы линейных уравнений с решениями соответствующей однородной системы

Пусть

$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$

(вообще говоря, неоднородная) совместная система линейных уравнений с множеством решений $X \subseteq K^n$ ,

$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=0,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=0 \end{array} \right.\text{ -}$

соответствующая ей однородная система линейных уравнений с множеством решений $X_{\textup{одн}}\subseteq K^n$ .

Теорема 4.2.1. Пусть $\lambda\in K$ , $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in X_{\textup{одн}}$ , $u=(u_1,...,u_n),v=(v_1,...,v_n)\in X$ . Тогда:

если $\alpha,\beta\in X_{\textup{одн}}$ , то $\alpha+\beta\in X_{\textup{одн}}$ ,
если $\alpha\in X_{\textup{одн}}$ , то $\lambda\alpha\in X_{\textup{одн}}$ ,
если $\alpha\in X_{\textup{одн}}$ , $u\in X$ , то $\alpha+u\in X$ ,
если $u,v\in X$ , то $v-u\in X_{\textup{одн}}$ .

Доказательство. Для любого i, $1 \leq i \leq n$ : $\begin{alignat*}{2} & \text{1)} &\quad & \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\alpha_j+\beta_j)= \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j+ \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\beta_j=0+0=0,\\ & \text{2)} &\quad & \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\lambda\alpha_j)= \lambda\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j= \lambda \cdot 0=0,\\ & \text{3)} &\quad & \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\alpha_j+u_j)= \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j+ \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_j=0+b_i=b_i,\\ & \text{4)} &\quad & \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(v_j-u_j)= \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}v_j- \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_j=b_i-b_i=0. \end{alignat*}$

Следствие 4.2.2.

Множество решений однородной системы $X_{\textup{одн}}$ является линейным пространством (подпространством линейного пространства Kⁿ ).
Если $u\in X$ (любое частное решение совместной неоднородной системы), то
$X=X_{\textup{одн}}+u=\{\alpha+u\mid \alpha\in X_{\textup{одн}}\},$
т. е. множество решений неоднородной системы X является сдвигом подпространства решений однородной системы $X_{\textup{одн}}$ на любое частное решение $u\in X$ .

Доказательство. Если $\alpha\in X_{\textup{одн}}$ , $u\in X$ , то в силу 3) $\alpha+u\in X$ , т. е. $X_{\textup{одн}}+u\subseteq X$ .

Если $v\in X$ , то v=(v-u)+u, при этом в силу 4) $v-u\in X_{\textup{одн}}$ , таким образом, $X\subseteq X_{\textup{одн}}+u$ .

Итак, X=X_одн+u.

Замечание 4.2.3. Позже мы покажем, что для любого линейного подпространства U линейного пространства строк Kⁿ над полем K существует однородная система линейных уравнений, для которой X_одн=U, таким образом, любое подпространство в Kⁿ может быть задано как пространство решений однородной системы.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в алгебру

Линейное пространство строк над полем

Связь решений неоднородной системы линейных уравнений с решениями соответствующей однородной системы

Вопросы и ответы