Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений
Решение уравнений третьей и четвертой степени
Любое уравнение
с помощью замены (если ) сводится к уравнениюУпражнение 2.10.1 (решение уравнений третьей степени, формула Кардано). Покажите, что для n=3 все решения кубического уравнения x3+px+q=0 ( ) имеют вид u+v, где , u3 и v3 - корни квадратного уравнения . Таким образом, для всех трех решений имеем формулу Кардано
где кубические корни u и v связаны соотношением .Если u1 и v1 - какие-либо значения корней
соответственно и , то корни находятся по правилу где .Величина D=-27q2-4p3 называется дискриминантом многочлена x3+px+q . Условие D=0 равносильно существованию кратного корня (при D=0 и имеем , , при этом если , то имеется корень кратности 3 ; если D=0 и p=0, то q=0, а уравнение принимает вид x3=0 ).
Если , то: при D>0 имеется три различных действительных корня; при D<0 имеется один действительный и два мнимых сопряженных корня; при D=0 все корни действительные, из них хотя бы два совпадают.
Примеры 2.10.2.
- x3+5x2+2x-8=0, x1=1, x2=-2, x3=-4.
- x3-6ix+4(1-i)=0, x1=-1-i, x2=-1-i, x3=2+2i.
- x3+9x2+18x+28=0, x1=-7, , .
Упражнение 2.10.3 (решение уравнений четвертой степени; Феррари, Эйлер). Для решения уравнения
рассматривается соответствующее кубическое уравнение y3+2py2+(p2-4r)y-q2=0. Если y1, y2, y3 - корни этого уравнения, то все корни исходного уравнения находятся по правилу где выбор квадратных корней подчинен условиюЗадача 2.10.4. Решить уравнения
x4+2x3+x2-1=0,
Ответ: , ;
x4+2x3+2x2+x-7=0,
Ответ: , .
Замечание 2.10.5. Отметим, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, при этом существует критерий разрешимости в радикалах уравнения любой степени (Абель, Галуа).