Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - умный, быстрый алгоритм вычисления ДПФ. Цель остается та же - вычислить коэффициенты Фурье:

Давайте оценим сложность, задаваемую этими формулами. При определении вычислительной сложности будем учитывать число умножений, игнорируя сложения, поскольку это более легкие операции в сравнения с умножением. Мы предполагаем, что значения синусов и косинусов предварительно вычислены и хранятся в памяти. Проигнорируем множитель , так как можно выбрать N/2 как степень 4, тогда деление на степень 2 является простой операцией для компьютера.

Вычисления каждого коэффициента Фурье, будет тогда включать N умножений, а поскольку коэффициентов тоже N, то сложность ДПФ, вычисляемого по этим формулам - .

БПФ позволяет вычислить те же коэффициенты, но со сложностью . Для вектора длины 1024 (что не является чем-то необычным при цифровой обработке сигнала) сложность прямого метода -1048576, а БПФ - 20480. БПФ - рекурсивный алгоритм. Его идея -разбить исходный вектор на два вектора половинной длины, применить рекурсивно БПФ к каждому короткому вектору, а затем комбинировать две последовательности коэффициентов Фурье, построенные для коротких векторов, в последовательность коэффициентов полного вектора.

С этого момента будем полагать, что N - степень 2,

Давайте разделим вектор на два коротких вектора, где компоненты с четными индексами будут принадлежать одному вектору, с нечетными - другому, Пока что, мы только ввели новую нотацию, не производя никаких вычислений:

В результате созданы два вектора длины :

Давайте применим ДПФ к векторам g и h:

Коэффициенты Фурье для g и h соответственно имеют вид:

Формулы для коэффициентов и аналогичны.

Теперь покажем, как можно сконструировать коэффициенты Фурье для вектора f из коэффициентов: и , и