Быстрое преобразование Фурье

В качестве упражнения следует вывести формулу для коэффициента .

Помните, что БПФ - рекурсивный алгоритм, так что коэффициенты последовательностей g и h снова считаются рекурсивно, расщепляя каждую из них на короткие последовательности. Формулы исходного преобразования Фурье применяются только, когда приходим к последовательностям длины 2: :

Теорема. Сложность алгоритма БПФ для вектора длины г равна .

Доказательство. Докажем теорему индукцией по n. Для базиса индукции, n = 1, N = 2, где используются простые формулы, приведенные выше, число умножений равно 2, что лучше, чем .

Давайте рассмотрим шаг индукции. Наше индукционное предположение - для последовательности длины сложность БПФ равна . Оценим сложность БПФ для последовательности длины . Чтобы вычислить коэффициенты Фурье мы вначале выполняем БПФ для последовательностей g и h со сложностью . Тогда для вычисления каждого из коэффициентов Фурье необходимо выполнить два умножения. Общая сложность тогда:

Тем самым теорема доказана.

Остается одно важное замечание. Когда мы выражаем коэффициенты Фурье через , индекс р находится в пределах . Однако, коэффициенты Фурье для g и h определены только для индексов в пределах . Следующая теорема объясняет, как получить коэффициенты Фурье для g и h в пределах .

Теорема. Пусть g - вектор длины . Пусть , где . Тогда

Аналогичное отношение имеет место и для коэффициентов Фурье для h.

Доказательство. Напомним, что коэффициенты Фурье задаются формулой:

Подставляя , получим

Используя тождества , упростим формулу и получим:

Доказательство для остается в качестве упражнения.

В случае, когда , запишем р как и мы можем вычислить коэффициенты Фурье для f из коэффициентов Фурье для g и h следующим образом:

Давайте выразим тригонометрические множители в правой части в терминах r:

На последнем шаге мы использовали тождество . Аналогично:

Теперь для , где , получим: