Россия, Сургут, Сургутский Государственный Университет, 2017 |
Ортогональные линейные трансформации
Квантовый алгоритм является линейной трансформацией в пространстве кубитов, но эта трансформация специального вида - ортогональная линейная трансформация.
Определение. Линейная трансформация Т в векторном пространстве называется ортогональной, если образы базисных векторов
ортогональны друг другу и все они имеют единичную длину
Определение. Множество из N взаимно ортогональных векторов длины 1 в называется ортонормальным базисом
.
Матрица ортогональной трансформации называется ортогональной матрицей.
Главные свойства ортогональных матриц: скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно нулю; скалярное произведение любого столбца с самим собой равно единице. Эти свойства непосредственно следуют из определения ортогональных матриц.
Давайте рассмотрим несколько примеров ортогональных трансформаций:
-
Поворот в
на угол
. Из геометрии ясно, что вектора
и
являются единичными векторами и ортогональны друг другу Нетрудно проверить, что и скалярные произведения столбцов матрицы
( удовлетворяют всем указанным свойствам:
- Отражение в
относительно линии, проходящей через начало координат. Эта трансформация является ортогональной, поскольку зеркальное отражение сохраняет длину вектора и углы между векторами.
- Поворот в
на угол
а вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.
Фактически можно показать, что любая ортогональная трансформация в представляет собой либо поворот, либо отражение, как в выше приведенных примерах 1-2. Приведем некоторые аргументы в пользу этого утверждения. Пусть Т - ортогональная трансформация в
и пусть
. Так как Т - ортогональна, то
и
- единичные вектора, ортогональные друг другу Все единичные вектора на плоскости могут быть получены друг из друга в результате поворота на некоторый угол. Предположим, что
получено поворотом
на угол
против часовой стрелки.
Тогда:
![u_1=\begin{pmatrix}\cos \alpha\\ \sin \alpha \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/be6bfce9834f23d9eab944cd1523afcc.png)
Так как вектор перпендикулярен
, то существуют лишь две возможности получения
из
путем поворота - повернуть
на
против часовой стрелки, либо по часовой стрелке:
В первом случае Т - это поворот с матрицей, записанной выше, во-втором случае - поворот с матрицей:
![\begin{pmatrix}\cos \alpha& \sin \alpha\\ \sin \alpha & -cos \alpha\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/5f0c9592013667489adce4612b4afd89.png)
Далее мы собираемся установить несколько свойств ортогональных трансформаций.
Теорема. Линейная трансформация Т ортогональна, если и только если она сохраняет скалярное произведение:
![Т(u) * Т(v) = u o v\; для\; всех\; u, v из R^N](/sites/default/files/tex_cache/6bafcbd76b783c2d621622db3f30a29e.png)
Доказательство. Предположим, что Т ортогонально. Из определения ортогональной трансформации следует, что утверждение справедливо для базисных векторов: . Для доказательства истинности утверждения для произвольных векторов u и v представим их в виде линейной комбинации базисных векторов:
![u=\sum_{i=1}^Nb_ie_i,\; v=\sum_{j=1}^Nc_je_j](/sites/default/files/tex_cache/d80bf61aa3bf5913aad7c6f593446af7.png)
Тогда
![T(u)*T(v)=T\left( \sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* T\left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right)\\
= \left (\sum_{i=1}^Nb_iT(e_i) \right )* \left (\sum_{j=1}^Nc_jT(e_j) \right )=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nb_ic_j(T(e_i)*T(e_j))\\
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^Nb_ic_j(e_i*e_J)= \left (\sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* \left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right )=u*v](/sites/default/files/tex_cache/1fa942650e6387dc30e6ff06173e8c87.png)
Мы заключаем, что Т сохраняет скалярное произведение.
Доказательство в другую сторону следует из того, что если Т сохраняет скалярное произведение, то . Так что Т преобразует базис
в другой ортонормальный базис. Следовательно, Т - ортогональная трансформация.
Из теоремы следует, что ортогональная трансформация сохраняет длину вектора и углы между векторами, поскольку эти характеристики можно выразить через скалярное произведение.
Заметим также, что скалярное произведение двух векторов может быть выражено, используя длины векторов:
![u*v=\frac12(|u+v|^2-|u|^2-|v|^2)](/sites/default/files/tex_cache/b5288b4ea621ee9a9d6aebdd4f8ff1af.png)
Следовательно, любая линейная трансформация, сохраняющая длины векторов, также сохраняет их скалярное произведение и должна быть ортогональной. Итогом приведенного обсуждения является следующая
Теорема. Следующие четыре утверждения эквивалентны: