Россия, Сургут, Сургутский Государственный Университет, 2017 |
Ортогональные линейные трансформации
- Т - ортогональная трансформация;
- Т - сохраняет скалярное произведение;
- Т - сохраняет длины и углы;
- Т - сохраняет длины векторов.
В выше приведенном обсуждении мы доказали, что .
В классе линейных трансформаций существует трансформация со свойствами, подобными числовой единице. Тождественная трансформация I, действующая в векторном пространстве V - это трансформация, не изменяющая ни один из векторов: I(v) = v для всех векторов v.
Рассмотрим тождественную трансформацию в . Так как
, то матрица тождествеиной трансформации является диагональной матрицей с единицами по диагонали и нулями для остальных элементов (матрицу тождественной трансформации называют единичной матрицей по аналогии с единицей). Эту матрицу также будем обозначать как I:
![I=\begin{pmatrix}1&0&0&\dots &0\\0&1&0&\dots &0 \\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ \dots& \dots& \dots&\dots& \dots \\0&0&0&\dots&1 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/99af075aec5867cbac27ccdcb25feea0.png)
Тождественная трансформация I имеет очевидные свойства относительно композиции трансформаций: для всех трансформаций Т векторного пространства V. Как следствие, те же свойства справедливы для единичной матрицы I относительно умножения матриц: АI = IА = А.
Линейные трансформации можно обобщить, задав для них свойство, подобное инверсии чисел.
1Операция деления вещественных чисел позволяет ввести понятие обратного числа. Число b = 1/а называется числом, обратным к числу а, или инверсией числа а. Очевидны равенства аb = bа = 1. Все вещественные числа за исключением числа 0, имеют обратные числа.
Определение. Линейная трансформация S называется инверсией (обращением) Т (обозначается ), если
. Аналогично для матриц:
,если АВ=ВА=I.
Упражнение. Проверьте что
![\begin{pmatrix}1&2\\3&5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}-5&2\\3&-1 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/9c2540fb753b4c6c76a01c28bdf94ace.png)
Для вещественных чисел 0- единственное число, не имеющее обратного числа. для матриц существуют ненулевые матрицы, не имеющие обратных матриц.
Упражнение. Покажите, что матрица
![\begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/e577cbb191e79815b95800b77a2a7faa.png)
не имеет обратной матрицы.
Приведем без доказательства следующее утверждение относительно квадратных матриц размера N * N. Если АВ = I, то ВА = I. Из этого следует, что подобное утверждение справедливо для линейных трансформаций в : Если
, но
.
Упражнение. Покажите, что выше приведенное утверждение не вьшолняется для линейных трансформаций в бесконечномерном векторном пространстве. Пусть D, S - линейные трансформации в пространстве полиномов, такие что и
. Покажите, что
, но
.
Определение. Транспонированной матрицей А (обозначается ) называется матрица, у которой строка с индексом k, является столбцом матрицы А с тем же индексом k.
Вот пример транспонирования матрицы:
![\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \\7&8&9 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8 \\3&6&9 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/d1baffded1291f22f67f333d148e178e.png)
Теорема. Каждая ортогональная матрица обратима. Обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей: .
Доказательство. Нам нужно показать, что . Поскольку
-транспонированная матрица, то элемент с индексами j, k матрицы произведения представляет скалярное произведение j-го и k-го столбцов. Для диагональных элементов, когда j = k, это произведение равно единице - длине вектора, в остальных случаях ввиду ортогональности векторов оно равно нулю. Отсюда следует, что матрица произведения является единичной матрицей - матрицей I- матрицей тождественной трансформации.