НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 1: Основы теории чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В первой лекции мы приводим основные понятия теории чисел. Вводим определение сравнимости по модулю и формулируем основные свойства сравнений. Таким образом мы подготавливаем учащегося к освоению собственно криптографических тем.

Ключевые слова: минимум, бесконечное множество, математика, связь, числитель, целое число, частное решение, значение

1.1 Основы теории чисел

При необходимости более глубокого знакомства с материалом можно воспользоваться любым из университетских учебников алгебры и теории чисел. Кроме того, имеются пособия по криптографии, содержащие необходимый минимум теоретических сведений в указанных областях. В частности, отметим пособие [1], особенно полезными мы считаем главы 2 и 3 этой книги. Мы приводим краткие сведения из теории и примеры решения некоторых задач по теории чисел.

1.1.1 Делимость

Будем считать известными свойства операций над целыми числами (сложения, вычитания, умножения), понятие модуля целого числа и свойства модуля.

Рассмотрим свойства отношения делимости во множестве целых чисел, это множество обозначается $\mathbb{Z}$ .

Определение 1.1 Целое число делится на целое число , если существует такое целое число , что $a=b\cdot c$ . Число называется делимым, - делителем, - частным.

Если число делится на , то пишут $a\, \vdots \,b$ ( кратно ).

Отношение делимости $a\, \vdots \,b$ в $\mathbb{Z}$ обладает следующими свойствами:

Для любого $a\in \mathbb{Z}$ имеем $a\, \vdots \,a$ .
Отношение делимости транзитивно, т. е. из $a\, \vdots \,b$ и $b\, \vdots \,c$ следует $a\, \vdots \,c$ .
Если $a\, \vdots \,b$ , то $-a\, \vdots \,b$ , $a\, \vdots \,-b$ и $-a\, \vdots \,-b$ , т. е. отношение делимости сохраняется при изменении знаков делимого и делителя.
Если $a\, \vdots \,c$ и $b\, \vdots \,c$ , то $(a+b\, \vdots \,c$ .
Если $a \, \vdots \,c$ и $b \in \mathbb{Z}$ , то $(ab)\, \vdots \,c$ .

Отметим, что утверждения, обратные 4 и 5, ложны: из делимости суммы не вытекает делимость слагаемых, а из делимости произведения не вытекает делимость сомножителей.
Например, делится на 12, но ни 35, ни 13 не делятся на 12; $3\cdot 8=24$ делится на 12, но ни 3, ни 8 на 12 не делятся.
Если $a \, \vdots \,c$ , а не делится на , то $a \pm b$ не делится на .
Нуль делится на любое число .
Любое число делится на 1.
Если $a \neq 0$ , то не существует такого , что $0 \cdot q = a$ .
Если $a \, \vdots \,b$ , то $|a| \geq |b|$ .

1.1.2 Деление с остатком

Определение 1.2 Разделить целое число на целое число $b \neq 0$ с остатком - это значит найти два таких целых числа и , чтобы выполнялись условия:

$0 \leq r<|b|$ .

Число называется неполным частным, а число - остатком от деления на .

Заметим, что остаток - всегда есть число неотрицательное, а вот неполное частное может быть каким угодно целым числом. Поэтому на вопрос: "Сколько будет минус пять поделить на три с остатком?", правильный ответ: "Неполное частное минус два, остаток - один".

Теорема 1.1 Каковы бы ни были целое число a и целое число $b \neq 0$ , всегда возможно, и притом единственным способом, разделить на с остатком.

1.1.3 Наибольший общий делитель

Определение 1.3 Целое число $\delta \neq 0$ называется общим делителем целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ , если каждое из этих чисел делится на $\delta$ .

Определение 1.4 Целое число называется наибольшим общим делителем чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ , если:

является общим делителем этих чисел;
делится на любой общий делитель чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ .

Теорема 1.2 Наибольший общий делитель чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ определён однозначно с точностью до знака (т.е. если и наибольшие общие делители чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ , то либо , либо ).

Условимся всегда рассматривать положительное значение наибольшего общего делителя чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ . Обозначение: $d=НОД(a_1, \dots, a_n )$ .

Пример 1.1 НОД(135,-180)=45.

Действительно, множество положительных делителей числа 135 есть A={1,3,5,9,15,27,45,135} , а для числа такое множество имеет вид B={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,$ $36,45,60,90,180} . Пересечение этих множеств $A \cap B = {1,3,5,9,15,45}$ . Число является общим делителем чисел 135 и и делится на все остальные общие делители этих чисел. Значит, НОД(135,-180)=45 . Заметим, что - наибольший по величине положительный общий делитель чисел 135 и .

Для любых целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ их наибольший общий делитель является наибольшим по величине положительным общим делителем.

Однако данное здесь определение является более удобным, так как распространяется на достаточно большой класс объектов, в частности, на многочлены. Определение же, включающее слова "наибольший по величине", не применимо к многочленам.

Дальше >>

Системное администрирование 1500

Криптографические методы защиты информации