как начать заново проходить курс, если уже пройдено несколько лекций со сданными тестами? |
Основы теории чисел
1.4 Сравнения первой степени и неопределенные уравнения
Одно уравнение с несколькими неизвестными имеет, как правило, бесконечное множество решений. Поэтому такие уравнения называют неопределенными. В теории чисел рассматривают задачу отыскания целочисленных решений неопределенных уравнений (их еще называют диофантовыми по имени древнегреческого математика Диофанта). Связь сравнений и диофантовых уравнений дается следующей теоремой.
Теорема 1.22 Если - целочисленное решение неопределенного уравнения
, где
,
,
- целые числа,
, то
- решение сравнения
.
Обратно, если - решение сравнения
, то существует такое целое число
, что
- решение неопределенного уравнения
.
Эта теорема позволяет свести решение неопределенных уравнений вида $ к решению сравнений первой степени, и обратно. В частности, из приведенных выше утверждений о сравнениях первой степени легко получается
Теорема 1.23 Если , то неопределенное уравнение
имеет целочисленное решение в том и только в том случае, когда
делится на
.
В частности, если , то урвнение
при любом целом c имеет целочисленное решение.
Процесс нахождения целочисленных решений уравнений вида состоит из даух этапов: нахождение хотя бы одного такого решения и нахождение общего вида таких решений. Рассмотрим сначала второй этап.
Теорема 1.24 Если известно частное целочисленное решение неопределенного уравнения
и
, то общее решение этого уравнения имеет вид
,
, где
пробегает множество целых чисел.
Для нахождения частных решений применяют те же способы, что и для решения сравнений (например, можно использовать теорему Эйлера). Покажем, как искать решения неопределенных уравнений (а тем самым и сравнений) с помощью цепных дробей.
Из предыдущего следует, что общее решение уравнения имеет вид:

где - числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби разложения
в цепную дробь, а
- любое целое число.
Пример 1.33 Решим в целых числах уравнение .
Решение. Так как и
, то уравнение имеет решение. Данное уравнение равносильно уравнению
.
Разложим в цепную дробь :
.
Составим все подходящие дроби:

На основании свойства подходящих дробей Получим:
, или
.
Умножив обе части равенства на 3, находим: , т.е.
,
- частное решение данного уравнения.
Все решения могут быть найдены по формулам: ,
, или
,
, где
принимает любые целые значения.
1.5 Китайская теорема об остатках
Рассмотрим систему сравнений первой степени:
![]() |
( 1.9) |
где числа попарно взаимно простые, и найдём значение
, удовлетворяющее всем
сравнениям.
Теорема 1.25 (китайская теорема об остатках) Пусть - попарно взаимно простые, и числа
- произвольные целые. Тогда существует единственное такое целое число
, что
и
,
.
![]() |
( 1.10) |
где и
.
Пример 1.34 Решим систему сравнений ,
,
.
Вычисляем: ,
,
. Находим обратные числа:



Подставляем значения в формулу (1.10):

Проверка: , то есть
;
, то есть
;
, то есть
.
1.5.1 Следствие Китайской теоремы об остатках
Теорема 1.26 Система сравнений , имеет решение
тогда и только тогда, когда
, причем такое
с условием
- единственное.
Для решения системы найдём , где
- попарно различные простые числа. Для каждого делителя
найдём номер
такой, что
делится на него, и число
. Полученная система
будет иметь взаимно простые модули, и единственное её решение
с условием
даёт Китайская теорема об остатках.
Пример 1.35 Решим систему уравнений: ,
,
.
Решение. Нетрудно убедиться, что наша система удовлетворяет условию теоремы. Решим её. Найдём На 4, 7 и 9 делятся, соответственно, 12, 14 и 18. Следовательно, исходная система эквивалентна системе:
,
и
. Решение
последней системы находим по китайской теореме об остатках.