НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 1: Основы теории чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 57 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

1.1.4 Алгоритм Евклида

Опишем способ нахождения наибольшего общего делителя, предложенный древнегреческим математиком Евклидом. Алгоритм Евклида применяется при решении многих задач, как теоретических, так и прикладных.

Алгоритм Евклида состоит в следующем. Сначала делят на ( a>b>0 ). Если $a \, \vdots \, b$ , то НОД(a,b)=b . В противном случае $a=b \cdot q_0 +r_1$ . Делим на r_1 . Если $b \, \vdots \, r_1$ , то НОД(b,r_1)=r_1 , но тогда и НОД(a,b)=НОД(b,r_1)=r_1 . Если не делится на r_1 , то получится остаток r_2 . Делим r_1 на r_2 и т.д.

Остатки, получаемые в процессе деления, убывают и являются натуральными числами, значит, на некотором шаге получим деление без остатка.

Последний не равный нулю остаток является наибольшим общим делителем чисел и . Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема 1.3 Если

$a=b\cdot q_0 + r_1$, $0 \leq r_1 < b,$

$b=r_1 \cdot q_1 + r_2$, $0 \leq r_2 < r_1,$

$r_1=r_2 \cdot q_2 + r_3$, $0 \leq r_3 < r_2,$

$\dots$

$r_{n-2}=r_{n-1} \cdot q_{n-1} + r_n$ , $0 \leq r_n < r_{n-1},$

$r_{n-1}=r_n \cdot q_n,$

то НОД(a,b)=r_n

Пример 1.2 Найдём НОД(1547,560)

$1547 = 560 \cdot 2 + 427$

$560 = 427 \cdot 1 + 133$

$427 = 133 \cdot 3 + 28$

$133 = 28 \cdot 4 + 21$

$28 = 21 \cdot 1 + 7$

$21 = 7 \cdot 3$ .

Отсюда

.

Следствие 1.1 (Следствие из теоремы 1.3) Пусть , , тогда существуют такие целые числа и , что . Другими словами, наибольший общий делитель двух чисел можно представить в виде линейной комбинации этих чисел с целыми коэффициентами.

Продолжение примера 1.2.

$7=28-1\cdot21=28-1\cdot(133-4\cdot28)=5\cdot28-1\cdot133=$

$=5\cdot(427-133\cdot3)-1\cdot133=5\cdot427-16\cdot133=$

$=5\cdot427-16\cdot(560-427\cdot1)=21\cdot427-16\cdot560=$

$21\cdot(1547-2\cdot560)-16\cdot560=21\cdot1547-58\cdot560$

Из алгоритма Евклида вытекает существование наибольшего общего делителя для любых двух целых чисел и , кроме пары (0,0) , для которой НОД не существует.

Теорема 1.4 Если $\delta = НОД(a_1, \dots, a_{n-1})$ и $d=НОД(\delta,a_n)$ , то $d=НОД( a_1, a_2, \dots, a_n)$ .

Отметим еще одно свойство НОД. Если каждое из чисел и умножить на одно и то же число $k \neq 0$ , то их наибольший общий делитель умножится на .

1.1.5 Взаимно простые числа и их основные свойства

Определение 1.5 Если $НОД(a_1, a_2, \dots, a_n)=1$ , то числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ называются взаимно простыми.

Например, числа 30 и 77 взаимно просты, а числа 30 и 72 не являются взаимно простыми, так как НОД(30,72)=6 .

Теорема 1.5 Для того, чтобы числа и были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие целые числа и , что .

Следствие 1.2 Если числа и взаимно просты и $a \, \vdots \,a_1$ , $b \, \vdots \, b_1$ , то числа и взаимно просты.

И еще одно свойство: частные от деления чисел и на НОД(a,b) взаимно просты.

1.1.6 Наименьшее общее кратное

Определение 1.6 Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ - целые числа, отличные от нуля. Целое число называется общим кратным этих чисел, если оно делится на каждое из данных чисел.

Например, произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n$ - общее кратное всех своих сомножителей.

Определение 1.7 Целое число называется наименьшим общим кратным чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ,если оно является их общим кратным и при этом любое общее кратное этих чисел делится на .

Если наименьшее общее кратное существует, то оно определено с точностью до знака. Мы будем выбирать положительное значение наименьшего общего кратного и обозначать его так:

$m=\LCM(a_1, a_2, \dots, a_n).$

Имеет место важная теорема.

Теорема 1.6 Число $\dfrac{a\cdot b}{НОД(a,b)}$ , где - наибольший общий делитель двух натуральных чисел и , является наименьшим общим кратным этих чисел.

Рассмотрим основные свойства наименьшего общего кратного.

Если каждое из чисел и умножить на одно и то же число $k \neq 0$ , то их НОК умножится на .
Если $a \, \vdots \, k$ и $b \, \vdots \, k$ , то
$\LCM\left(a,b\right)=k\cdot \LCM\left(\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right).$

Пример 1.3 Найдем $\LCM(5640, 2500)$ .

Разделим каждое из данных чисел на (очевидный делитель) и найдём $\LCM(564, 250)$ . Имеем:

$\LCM(564, 250)= \frac{564\cdot 250}{(564,250)}=\frac{564\cdot 250}{2}=564\cdot 125=70500.$

Тогда $\LCM(5640, 2500)=70500\cdot10=705000$ .

Для нахождения НОК нескольких чисел имеет правило, аналогичное рассмотренному выше правилу нахождения НОД нескольких чисел.

Теорема 1.7 Если

$\LCM(a_1, a_2)=m_1, \LCM(m_1, a_3)=m_2, \dots, \LCM(m_{n-2}, a_n) = m_{n-1},$

то $\LCM(a_1, \dots, a_n) = m_{n-1}$ .

Иными словами, для нахождения НОК чисел $a_1, \dots, a_n$ надо сначала найти $m_1=\LCM(a_1, a_2)$ , потом $m_2=\LCM(m_1, a_3)$ , и т.д. вплоть до $m_{n-1}=\LCM(m_{n-2}, a_n)$ . На каждом шаге нам придется находить НОК двух чисел, а это мы уже умеем делать.