НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 1: Основы теории чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 57 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

1.2 Теория сравнений и ее приложения

1.2.1 Сравнение по модулю

Определение 1.11 Числа, дающие при делении на m одинаковые остатки, называются сравнимыми по модулю . Обозначение: $a \equiv b ~(mod \ m)$ .

Теорема 1.14 (признак сравнимости по модулю) Два целых числа сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда их разность делится на .

Итак, если два целых числа и сравнимы по модулю , то этот факт можно записать разными способами: $a \equiv b (mod \ m)$ или a=b+mk , где - целое число, или a-b=mk или $(a-b)\, \vdots \,m$ .

Далее, если a=mq+r , то есть при делении на дает остаток , то a-r=mq или $a \equiv r (mod \ m)$ . Таким образом, любое целое число всегда сравнимо с остатком , получающимся при делении его на .

Свойства сравнений, не зависящие от модуля

Отношение сравнимости удовлетворяет условиям:
- рефлексивности: $a \equiv a mod \ m$ ,
- симметричности: если $a \equiv mod \ m$ , то и $b \equiv a \ mod \m$ ,
- транзитивности: если $a \equiv b \ mod \ m$ , а $b \equiv c \ mod \m$ , то $a \equiv c \ mod \ m$ .
Отношение, заданное на множестве и обладающее перечисленными свойствами, задает разбиение этого множества на непересекающиеся классы. Применительно к отношению сравнимости по модулю это означает: все множество целых чисел разбивается на классы чисел, эти классы не пересекаются. Так, есть класс нуля: это все числа, сравнимые с нулем по модулю ,то есть делящиеся на без остатка(включая и само число 0), класс единицы - все числа, дающие остаток 1 при делении на , класс 2, ...,класс . Например, пусть . Получаем следующие классы:

$\begin{array}{lcl} \bar{0}&=&\{\dots,-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20,\dots\} \\[1ex] \bar{1}&=&\{\dots,-9, -4, 1, 6, 11, 16, 21,{\dots}\} \\[1ex] \bar{2}&=&\{\dots,-8, -3, 2, 7, 12, 17, 22,{\dots}\} \\[1ex] \bar{3}&=&\{{\dots},-7, -2, 3, 8, 13, 18, 23,{\dots}\} \\[1ex] \bar{4}&=&\{{\dots},-6, -1, 4, 9, 14, 19, 24,{\dots}\}. \end{array}$ ( 1.2)

Определение 1.12 Классы (1.2) называются классами вычетов.
Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать.
Два сравнения по одному и тому же модулю можно почленно вычитать одно из другого.
К обеим частям сравнения можно прибавлять одно и то же целое число.

Следствие 1.6 Члены сравнения можно переносить из одной части сравнения в другую с противоположным знаком.
Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно перемножать.

Следствие 1.7 Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же целую неотрицательную степень: если $a \equiv b (mod \ m)$ и - целое неотрицательное число, то $a^k \equiv b^k (mod \ m)$ .
Обе части сравнения можно умножать на одно и то же целое число.

Свойства сравнений, зависящие от модуля

Если $a \equiv b ~(mod \ m)$ и $m \, \vdots \, n$ , то $a \equiv b ~(mod \ n)$ .
Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое положительное число.
Если $ak \equiv bk \ mod \ m$ и , то $a \equiv b \ mod \ {\frac{m}{d}}$ .

Приведем следствия из свойства 9.

Следствие 1.8 Если , т. е. если $m \, \vdots \, k$ , то из $ak \equiv bk \ mod \ m$ следует $a \equiv b \ mod \frac{m}{k}$ , а это означает, что обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель.

Большое значение имеет

Следствие 1.9 Если , т. е. если , то из $ak \equiv bk \ mod \ m$ следует $a \equiv b \ mod \ m$ , а это означает, что обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.

Пример 1.9 $60 \equiv 9 (mod \ 17)$ .

После деления обеих частей сравнения на получим $20 \equiv 3 ~(mod \ 17)$ .
Делить обе части сравнения на число, не взаимно простое с модулем, вообще говоря, нельзя, так как после деления могут получиться числа, несравнимые по данному модулю.

Пример 1.10 $8 \equiv 4~(mod \ 4)$ , но $2 \not\equiv 1~(mod \ 4)$ .
Если сравнение $a \equiv b$ имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.
Из рассмотренных свойств сравнений вытекает следующее общее свойство.
Пусть - многочлен с целыми коэффициентами, и - переменные, принимающие целые значения. Тогда если $a\equiv b ~(mod \ m)$ , то $P(a) \equiv P(b) ~(mod \ m)$ .

Если $a\equiv b~(mod \ m)$ и $c_i\equiv d_i ~(mod \ m)$ , то

$c_na^n+c_{n-1}a^{n-1}+\ldots+c_1a + c_0 = d_nb^n + d_{n-1}b^{n-1}+\ldots+d_1b + d_0 ~(mod \ m).$

Таким образом, в сравнении по модулю отдельные слагаемые и множители можно заменять числами, сравнимыми по тому же модулю . В частности, все числа, кратные модулю, можно заменять нулями (так как если $a \, \vdots \, m$ , то $a \equiv 0~(mod \ m)$ ).

Вместе с тем следует обратить внимание на то, что встречающиеся в сравнениях показатели степеней заменять таким образом нельзя: из $a^{n} \equiv c~(mod \ m)$ и $n \equiv k~(mod \ m)$ не следует, что $a^{k} \equiv c~(mod \ m)$ .
Свойство 11 имеет ряд важных применений. В частности, с его помощью можно дать теоретическое обоснование признаков делимости.

Пример 1.11 Доказать, что при любом натуральном число $37^{n+2} + 16^{n+1} +23^{n }$ делится на .

Решение. Очевидно, что $37 \equiv 2~(mod \ 7)$ , $16 \equiv 2~(mod \ 7)$ , $23 \equiv 2~(mod \ 7)$ .

Возведем первое сравнение в степень , второе - в степень , третье - в степень . Полученные сравнения: $37^{n+2} \equiv 2^{n+2}~(mod \ 7)$ , $16^{n+1} \equiv 2^{n+1}~(mod \ 7)$ , $23^{n} \equiv 2^{n}~(mod \ 7)$ , сложим:

$37^{n+2} +16^{n+1} +23^{n } \equiv 2^{n} \cdot (2^{2}+2^{1}+1) ~(mod \ 7) \equiv 2^{n}\cdot 7~(mod \ 7)$ , то есть $37^{n+2} +16^{n+1} +23^{n}$ делится на .

Пример 1.12 Найти остаток от деления числа $(9674^{6} +28)^{15}$ на .

Решение. Так как $9674 \equiv 2~(mod \ 39)$ , то $9674^{6} \equiv 2^{6}~(mod \ 39)=64 \equiv 25~(mod \ 39)$ . Далее, $25+28=53 \equiv 14~(mod \ 39)$ . Следовательно, $(9674^{6} +28)^{15}\equiv 14^{15}$ . И задача теперь сведена к следующей: найти остаток от деления $14^{15}$ на . Воспользуемся сравнениями: $14\equiv -1~(mod \ 3)$ и $14\equiv 1 ~(mod \13)$ . Из $14\equiv -1~(mod \ 3)$ следует: $14^{14}\equiv 1~(mod \ 3)$ . А из сравнения $14\equiv 1 ~(mod \13)$ следует: $14^{14}\equiv 1~(mod \ 13)$ . И так как сравнение имеет место по модулям и , то оно имеет место и по модулю , являющемуся НОК чисел и . Итак, $14^{14}\equiv 1~(mod \ 39)$ . Но в таком случае $14^{15}\equiv 14~(mod \ 39)$ .

1.2.2 Возведение в степень по модулю

Пусть $a,b,m\in \mathbb{N}$ , нам необходимо вычислить $c = a^b ~(mod \ m)$ . В дальнейшем перед нами часто будет стоять такая задача с очень большими числами , , . Очевиднейший способ вычислить - вычислить произведение $\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{раз}}$ и взять остаток от деления на . Для этого потребуется умножений и взятие остатка от деления огромного числа (не всегда даже его хранение в памяти может быть простым) по модулю . Приведём оптимизации для этой задачи.

Из свойства

$((a\cdot b)~(mod \ m) \cdot c)~(mod \ m) = (a\cdot b \cdot c)~(mod \ m)$

следует, что промежуточные результаты вычислений можно перед хранением брать по модулю .
Сгруппируем сомножители в произведении особым образом. Пусть $b=b_0 + 2b_1 + \ldots + 2^n b_n$ , $b_i\in\{0,1\}$ . Имеем:

$a^b ~(mod \ m) = a^{b_0} \cdot (a^2)^{b_1} \cdot (a^4)^{b_2} \cdots \left(a^{(2^n)}\right)^{b_n} ~(mod \ m).$

Используя пункт 1, будем все промежуточные результаты хранить по модулю . Также для деления на 2 мы будем использовать операцию сдвига бит вправо:

$2^n b_n + 2^{n-1} b_{n-1} + \ldots + 2 \cdot b_1 + b_0 ~~\rightarrow~~ 2^{n-1} b_{n} + \ldots + 2 \cdot b_2 + b_1.$

Микропроцессоры имеют специальные инструкции, а языки программирования - специальные операторы для оптимизированного выполнения битового сдвига, которые и следует использовать при реализации данного алгоритма.

Пункт 2 даёт следующий алгоритм возведения в степень по модулю.

Вход: , , - целые неотрицательные числа.

1) Положить r=1

,

,

.

2) Повторять, пока b' > 0

:

2.1) Если $b' \equiv 1 ~(mod \ 2)$ , положить $r:=r\cdot x ~(mod \ m)$ .

2.2) Положить $x := x^2 ~(mod \ m)$ .

2.3) Сдвинуть биты числа

на один вправо (что эквивалентно вычислению $b' = \lfloor b'/2 \rfloor$ ).

Выход: - результат возведения в степень по модулю .

Также отметим, что на шаге 1 копирование b'=b , x=a выполняются для того, чтобы не испортить значения , , которые могут передаваться в наш алгоритм по указателю или ссылке.

Дальше >>

Системное администрирование 1500

Криптографические методы защиты информации