Элементы дискретного математического анализа

Задачи

1. Найти численно (с точностью 0,01 ) решение уравнения x⁴-2x-4,5=0. Указание: использовать схему Эйлера.
2. Сравнить численное и точное решение задач квадратных уравнений x²–5x+6=0, x²–5x+5,99=0. Указание: первое уравнение решить точно, второе – приближенно, например, методом бисекции.
3. Определить некоторую дискретно заданную функцию для 3-х значений аргумента и построить интерполянту по этим данным. Указание: использовать квадратный трехчлен.
4. Для задачи 3 решить задачу аппроксимации методом наименьших квадратов и найти аппроксимирующий многочлен первой степени. Сравнить результаты. Указание: использовать сравнить отклонения по модулю.
5. Для предыдущей задачи решить задачу аппроксимации методом наименьших квадратов и найти аппроксимирующий многочлен наивысшей возможной степени. Сравнить результаты. Указание: полином наивысшей возможной степени – квадратный трехчлен.
6. Решить численно задачу Коши: y’(x)=sin(xy)+y³ , y(1)=0. Оценить погрешность решения. Указание: использовать схему Эйлера.
7. Решить численно задачу Коши: y’(x)=xy+y² , y(0)=y(1)=0. Оценить погрешность решения. Указание: использовать схему Эйлера.
8. Героиня гоголевской "Женитьбы" Агафья Тихоновна высказывала: "Право, такое затруднение – выбор. Если бы еще один, два человека, а то четыре. Как хочешь, так и выбирай… Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазаровича, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича – я бы тогда тотчас же решилась…". Сформулируйте содержательно некоторую оптимизационную задачу на основе этих пожеланий. Указание: это шуточная задача, но можно ее формализовать, введя оценки (веса) привлекательности каждого "претендента" и составив задачу максимизации весов "идеального претендента".

9. Решить графически задачу линейного программирования (указать множество допустимых решений и узловые точки):

   

   Указание: нарисовать чертеж области в пространстве.
10. Решить предыдущую задачу симплекс-методом. Указание: найти начальное, опорное решение.

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

1. Роль и значение дискретного анализа в науке (в теории).
2. Роль и значение дискретного анализа в практике.
3. Интерполяция, ее применение. Методы интерполяции.
4. Аппроксимация, ее применения. Методы аппроксимации.
5. Численное интегрирование, его применения. Методы численного интегрирования.
6. Численное дифференцирование, его применения. Методы численного дифференцирования.
7. Основные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
8. Суммирование бесконечных рядов, философский анализ понятия суммы.
9. Оптимизация вокруг нас. Методы оптимизации.
10. Выбор решения с помощью линейного программирования.