Опубликован: 21.06.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 2438 / 609 | Оценка: 4.02 / 4.11 | Длительность: 13:28:00
ISBN: 978-5-9556-0123-6
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 11:

Двоичные числа и двоичная арифметика

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >
Аннотация: Рассматривается двоичная система счисления как частный случай позиционной системы и основные правила двоичной арифметики.

Принцип представления чисел в позиционных системах счисления

Позиционной называется система счисления, в которой вес разряда числа определяется его позицией в записи числа [1].

Вспомним нашу привычную десятичную систему счисления, в которой мы с детства производим все расчеты. Уже в начальной школе мы привыкли к терминам "единицы", "десятки", "сотни", "тысячи", "десятые", "сотые", "тысячные" и не задумываемся над тем, что они означают вес разряда, выраженный в виде числа, равного 10^{k}, где k - целое число. Например, число 125, 46 можно представить в виде суммы:

125,46 = 1\cdot 10^{2      }+    2\cdot 10^{1}     +     5\cdot 10^{0}     +     4\cdot 10^{-1}    +   6 \cdot 10 ^{-2}.

сотни десятки единицы десятые доли сотые доли

Аналогично любое число Y_{10} в десятичной системе счисления можно представить в виде подобной суммы:

Y_{10} = а_{n-1} \cdot 10^{n-1 }+ а_{n-2} \cdot 10^{n-2 }+ … +а_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} + a_{-1}\cdot 10^{-1} +…+ a_{-m}\cdot 10^{-m} = \sum\limits_{i=n-1}^{-m}{a_i \cdot  10^{i}} , ( 11.1)

где n - количество знаков в целой части числа, m - количество знаков в дробной части числа, 10^{i} - вес i -го разряда, а_{i} - весовой коэффициент для i -го разряда числа. Количество возможных вариантов значения коэффициента а_{i} в десятичной системе счисления равно 10, поскольку для записи чисел в ней используются десять знаков - арабские цифры "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" и "9". Число 10 является основанием системы счисления. Исторически сложилось, что десятичная система получила наибольшее распространение, хотя по этому принципу можно сделать аналогичную запись в любой другой системе счисления c любым другим основанием. В табл. 11.1 прослежива ется аналогия между позиционными системами счисления.

Основание системы счисления - это число, равное количеству знаков, которые используются в этой системе для записи чисел.

Для числа в системе счисления с основанием b выражение (11.1) преобразуется к виду:

Y_{b} = а_{n-1} \cdot b^{n-1 }+ а_{n-2} \cdot b^{n-2 }+ … +а_{1} \cdot b^{1} + a_{0} \cdot b^{0} + a_{-1}\cdot b^{-1} +…+ a_{-m}\cdot b^{-m} =\sum\limits_{i=n-1}^{-m}{a_i \cdot  b^{i}} . ( 11.2)
Таблица 11.1. Параметры позиционных систем счисления
Название системы счисления Основание системы счисления Знаки, использующиеся для записи чисел
Двоичная 2 0, 1
Троичная 3 0, 1, 2
Четверичная 4 0, 1, 2, 3
Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

С началом развития цифровой вычислительной техники большой интерес стала вызывать двоичная система, поскольку вычислительная машина любого поколения и любой степени сложности - это совокупность логических схем. Работа элементов этих схем основана на ключевом режиме работы транзистора, в котором он может быть только в двух состояниях, принимаемых за логический 0 и логическую 1.

Запись двоичного числа, как будет показано ниже, как правило, довольно длинна и громоздка, поэтому для более короткой записи двоичных чисел применяются восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Выбор именно этих систем обусловлен тем, что их основания равны целой степени числа 2. Основание восьмеричной системы 8= 2^{3}, а основание шеснадцатиричной системы - это 16 = 2^{4}. Для записи шестнадцатеричных чисел арабских цифр не хватает, поэтому используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита.

Итак, далее мы подробно рассмотрим именно эти позиционные системы - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и их связь с привычной нам десятичной системой счисления.

Приведем примеры записи чисел в указанных системах и найдем их десятичные эквиваленты по формуле (11.2).

Для двоичного числа:

10111,01_{2 }= 1 \cdot  2^{4} + 0\cdot  2^{3} + 1\cdot  2^{2} +1\cdot  2^{1} + 1\cdot  2^{0} + 0\cdot  2^{-1 }+1\cdot  2^{-2} = 16 + 4 + 2 + 1 + \cfrac{1}{4} = 23,25.

Здесь и далее будем придерживаться следующего правила: числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах записываются с указанием основания, десятичные - без этой записи.

Для восьмеричного числа:

302, 02_{8} = 3   8^{2} + 0   8^{1} + 2   8^{0} + 0   8^{-1} + 2   8^{-2} = 3 \cdot  64 + 2 \cdot  1 + 2 \cdot  \cfrac{1}{64} \approx 194,03.

Для шестнадцатеричного числа:

1Е, 03_{16 }= 1   16^{1} + 14  16^{0} + 0   16^{-1} + 3   16^{-2} = 16 + 14 + 3 \cdot  \cfrac{1}{16^2} \approx 30, 01.

Округление относится к дробной части числа, целая часть переводится точно. Особенностью перевода из шестнадцатеричного кода в десятичный код является то, что в качестве коэффициента а_{i} используется десятичный эквивалент шестнадцатеричного знака в соответствии с таблицей 11.2. Для нашего примера вместо знака " Е " в расчетную формулу (11.2) подставляется десятичное число 14.

Из рассмотренных примеров видно, что общая формула (11.2) может использоваться для перевода числа из системы счисления с любым основанием в десятичную.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы в любую другую. Перевод целых чисел

Целое десятичное число нужно поделить на основание новой системы счисления. Остаток от этого деления является самым младшим разрядом в новой записи числа. Результат деления вновь делится на основание. Остаток от этого деления будет следующим разрядом в новой записи числа, результат деления вновь делится на основание и т.д. до тех пор, пока в результате деления получится число, меньшее по величине, чем основание новой системы. Остаток этого последнего деления будет предпоследним разрядом в новой записи числа, а результат этого последнего деления - самым старшим разрядом в новой записи числа.

Проверка перевода осуществляется по формуле (11.2), так, как это показано ниже на примерах.

Пример. Перевести десятичное число 125 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Проверить результаты по формуле (П11.2).

\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{l@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl}
&_{-}125	&|2	&&&&&\\
\cline{3-4}
&124	&&_{-}62	&|2\\
\cline{2-2}\cline{5-6}
&1	& &62	&&_{-}31	&|2\\
\cline{4-4}\cline{7-8}
&&&0	& &30	&&_{-}15	&|2\\
\cline{6-6}\cline{9-10}
&	&&		&&1	&&14	&&_{-}7	&|2\\
\cline{8-8}\cline{11-12}
&&&&&&&1&&6	&&_{-}3	&|2\\
\cline{10-10}\cline{13-14}
&&&&&&&&&1	&&2&&1\\
\cline{12-12}
&&&&&&&&&&&1\\
\end{array} \\

125_{10} = 1111101_2
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrrrrrr}
_{-}&1&2&5&|8\\
 \cline{5-6}
    & &8& &_{-}&15&|8\\
\cline{2-3}\cline{7-7}
 &_{-}&4&5&    & 8& 1\\
\cline{6-6}
 &    &4&0&    & 7\\
\cline{3-4}
 &    & &5 
\end{array} \\

125_{10}=175_8
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrr}
_{-}	&	125	&	|16\\
	\cline{3-3}
	&	112	&	7\\
	\cline{2-2}
	&	13\\
\end{array} \\
125_{10} =  7D_{16}
a) б) в)

Проверка:

  • в двоичном коде: 1111101_{2}= 1+4+8+16+32+64=125 ;
  • в восьмеричном коде 175_{8} = 1\cdot 8^{2 }+ 7\cdot  8^{1} + 5\cdot  8^{0} = 64+56+5=125 ;
  • в шестнадцатеричном коде - 125 =  7D_{16} =    =7\cdot  16^{1} + 13\cdot  16^{0} = 112 + 13 = 125.

В рассмотренном примере при переводе вместо коэффициента а_{0} =D используется его десятичный эквивалент 13 в соответствии с таблицей 11.2.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную (восьмеричную)

Как уже было сказано выше, шестнадцатеричный и восьмеричный коды используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел. Так, программирование в машинных кодах осуществляется в большинстве случаев в шестнадцатеричном коде. Правила перевода для шестнадцатеричной и восьмеричной системы структурно одинаковы, отличия для восьмеричной системы отображаются в скобках.

Двоичная запись числа делится на группы по четыре ( три ) двоичных знака влево и вправо от запятой, отделяющей целые и дробные части Неполные крайние группы (если они есть) дополняются нулями до четырех ( трех ) знаков. Каждая группа заменяется одним шестнадцатеричным ( восьмеричным ) знаком в соответствии с кодом группы (табл. 11.2).

Таблица 11.2. Соответствие двоичных групп, шестнадцатеричных и восьмеричных знаков
Двоичная группа Шестнадцатеричный знак Десятичный эквивалент Двоичная группа Восьмеричный знак
0000 0 0 000 0
0001 1 1 001 1
0010 2 2 010 2
0011 3 3 011 3
0100 4 4 100 4
0101 5 5 101 5
0110 6 6 110 6
0111 7 7 111 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 A 10
1011 B 11
1100 C 12
1101 D 13
1110 E 14
1111 F 15

Примеры:

  • перевод в шестнадцатеричную систему:
    11110000001010,0101111_{2}=\fbox{0011} \fbox{1100} \fbox{0000} \fbox{1010} , \fbox{0101} \fbox{1110} = 3С0А, 5Е_{16};
  • перевод в восьмеричную систему:
    1100000110,10111_{2}=\fbox{001} \fbox{100 }\fbox{000}\fbox{ 110 }, \fbox{101 }\fbox{110 }= 1406, 56_{8}.

Перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы в двоичную

Обычно программы в машинных кодах записаны в шестнадцатеричной системе счисления, реже - в восьмеричной. При необходимости отдельные числа такой программы записываются в двоичном коде, например, при рассмотрении форматов регистров, кодов операции команд и т.п. В этом случае нужен обратный перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную по следующему правилу.

Каждая цифра (без всяких сокращений!) шестнадцатеричного ( восьмеричного ) числа заменяется одной двоичной группой из четырех ( трех ) двоичных знаков (табл. 11.2).

Примеры:

  • для шестнадцатеричного числа: 127, В6_{16 }= 000100100111,10110110_{2} = 100100111,1011011_{2} ;
  • для восьмеричного числа: 147,554_{8} = 001100111,101101100_{2 }= 1100111,1011011_{2}.

Как показано в примерах, крайние нули слева и справа при желании можно не писать, но такое сокращение делается уже после перевода в двоичную систему.

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >