НОУ ИНТУИТ | Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#. Лекция 12: О решении операторных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 978 / 107 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Рассмотрены вопросы конструктивного решения операторных уравнений, заданных линейным неограниченным уравнением. Изложение ведется на основе краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Ключевые слова: коэффициенты, функция, пространство, коэффициенты Фурье, вторая производная, равенство, базисные функции, операции, значение, точность, функциональное пространство, дифференциальное уравнение

Цель лекции: Показать способы решения операторных уравнений а гильбертовом пространстве. Реализовать с помощью объектно-ориентированного программирования на C# классы для решения этих задач.

Как мы уже отмечали, многие математические задачи могут быть записаны в виде операторных уравнений. И одной из основных задач при рассмотрении операторных уравнений является нахождение обратного оператора. Мы рассмотрим методы решения операторных уравнений, основанные на методе Галеркина. Основным модельным примером в нашем рассмотрении будет краевая (двухточечная) задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Мы будем рассматривать следующее уравнение

$-y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x),\ x\in(0,\pi),$

( 11.1)

со следующими краевыми условиями

$y(0)=y(\pi)=0$

( 11.2)

Коэффициенты p(x)

и

, а также функция f(x)

считаются известными. Однако в этой лекции мы будем рассматривать лишь случай, когда $p(x)\equiv0$ , а $q(x)\equiv q\ge0$ .

Используя результаты предыдущей лекции, мы будем рассматривать следующее гильбертово пространство $L_2(0,\pi)$ , в котором в качестве базисных функций выбраны функции

$e_k=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx,\ k=1,2,\dots.$

Введем еще одно пространство, которое обозначим $H^2(0,\pi)$ . Мы будем говорить, что функция $u\in L_2(0,\pi)$ принадлежит пространству $H^2(0,\pi)$ , если коэффициенты Фурье этой функции:

$u=\sum\limits_{k=1}^\infty u_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx$

удовлетворяют следующему условию --- для них сходится ряд:

$\|u\|_{H^2(0,\pi)}^2=\sum\limits_{k=1}^\infty k^2|u_k|^2<\infty.$

Последнее условие требует более быстрого убывания коэффициентов Фурье, что соответствует большей гладкости решения. Как мы видели в прошлой лекции, если функция $u\in H^2(0,\pi)$ , то вторая производная этой функции (точнее, действие оператора ${\cal D}^2$ ) принадлежит $L_2(0,\pi)$ . Введем еще один простой оператор

$Q:L_2(0,\pi)\to L_2(0,\pi)$

умножения на константу

. Очевидно, что это тоже диагональный оператор, для которого коэффициенты $\alpha_k$ равны

$\alpha_k=q.$

Тогда задачу 11.1 - 11.2 можно записать в операторном виде:

( 11.3)

где $f\in L_2(0,\pi)$ . Соответственно, решением задачи 11.3 называется функция $y\in H^2(0,\pi)$ , удовлетворяющая уравнению 11.3.

Операторный подход позволяет довольно просто получить решение задачи 11.3. Чтобы вывести аналитико-численные формулы, для решения задачи 11.3 представим функцию разложением в ряд:

$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx,$

где коэффициенты Фурье могут быть найдены по формуле

$f_k=\int\limits_0^\pi f(x)\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx dx.$

Соответственно, решение

мы будем искать в виде:

$y(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx.$

Таким образом задача сводится к нахождению чисел y_k

. Находить эти числа мы будем следующим образом - подставим разложение по базисным функциям в уравнение 11.3:

$-{\cal D}^2[\sum\limits_{k=1}^\infty y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx]+Q[\sum\limits_{k=1}^\infty y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx]=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx,$

Что можно записать следующим образом

$\sum\limits_{k=1}^\infty \left(k^2+q\right)y_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx$

Умножая скалярно это равенство на базисные функции $\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin kx$ , получаем цепочку (бесконечную) равенств:

Откуда получаем (в силу неотрицательности

):

$y_k=\frac{f_k}{k^2+q}.$

Наш операторный подход позволяет получать решение краевой задачи для дифференциального уравнения используя лишь арифметические операции.

Единственный нетривиальный момент при применении нашего операторного подхода состоит в том, чтобы получить разложение правой части по выбранному базису. Однако поскольку для получения этого разложения нужно вычислять скалярные произведения, то мы можем воспользоваться ранее созданными классами для гильбертовых пространств.

Дальше >>

Авторизоваться

Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#

О решении операторных уравнений

Вопросы и ответы