НОУ ИНТУИТ | Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#. Лекция 6: Принципы организации вычислительных процедур

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.05.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 978 / 107 | Оценка: 4.40 / 4.20 | Длительность: 12:30:00

Тема: Программирование

Специальности: Программист, Архитектор программного обеспечения

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Рассматриваются принципы организации вычислительных процедур. На примерах показаны принципы построения аппроксимирующих и итерационных процедур вычислительной математики. Рассмотрены вопросы корректности математических постановок.

Ключевые слова: разделы, нелинейное программирование, список, отображение, невязки, числовая ось, функция, невязка, пространство, множества, приближенное решение уравнения, место, вектор, неподвижная точка, знание, класс, регуляризация, мера

Цель лекции: Показать важность правильности выбора вычислительных процедур. Продемонстрировать итерационные вычислительные процедуры на простом примере программы на C#.

К классическим темам вычислительной математики обычно относят следующие разделы:

Табулирование функций и интерполяция
Нахождения корней систем уравнений
Решение задач линейной алгебры
Численное интегрирование и дифференцирование
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задачи Коши и краевых задач)
Решение уравнений в частных производных
Решение интегральных уравнений
Задачи линейного и нелинейного программирования
Обработка результатов экспериментов и задачи математической статистики
Решение задач дискретной математики

Разумеется, это не полный список тем вычислительной математики, поскольку практически в любой области математики можно найти "работу" для численных методов. Среди собственных тем вычислительной математики можно выделить следующие:

Сходимость численных методов
Оценка погрешности и сложности вычислительных процедур
Программирование численных методов
Методика проведения вычислительных экспериментов

Рассмотрим принципы организации вычислительных процедур на примере решения операторного уравнения. Пусть и метрические пространства с метриками $\rho_X$ и $\rho_Y$ соответственно, и пусть задано однозначное отображение

$A:X\to Y.$

Рассматривается уравнение

( 5.1)

где $y\in Y$ .

Решением уравнения 5.1 называется элемент $x\in X$ , удовлетворяющий уравнению 5.1. Мы будем предполагать, что существует хотя бы одно решение уравнения 5.1, которое мы обозначим через x^* . Задачей вычислительной математики является конструктивное построение такого отображения

$T:\Bbb{N}\to X,$

что последовательность

удовлетворяет следующему условию:

$\rho_X(x_n,x^*)\to0,\quad n\to\infty.$

Для оценки эффективности вычислительной процедуры введем две величины: оценка погрешности приближенного решения

$\delta(x)=\rho_X(x,x^*),$

и невязка приближенного решения:

$\varepsilon(x)=\rho_Y(A[x],y).$

Для вычисления величины $\delta(x)$ необходимо знать собственно решение x^*

, что возможно лишь в тестовых задачах. С другой стороны при вычислении невязки решение не участвует, поэтому величина $\varepsilon(x)$ является конструктивно вычисляемой.

Как правило, целью численных методов является построение такой последовательности x_n , для которой выполнено условие:

$\delta(x_n)\to0.$

Если же для нашей последовательности выполнено только условие

$\varepsilon(x_n)\to0,$

то это еще не означает, что последовательность x_n

сходится к решению (и вообще, что сходится). Рассмотрим простой пример. Пусть $X=Y=\Bbb{R}$ - числовая ось. Функция

задана по формуле:

$A[x]=\frac{x^2}{1+x^4}.$

Рассмотрим уравнение

$\frac{x^2}{1+x^4}=0.$

Это уравнение имеет единственное решение x^*=0

. Если мы используем вычислительную процедуру

$x_n=T[n]=\frac{1}{n},$

то легко видеть, что невязка $\varepsilon(x_n)$ имеет вид

$\varepsilon(x_n)=\frac{n^2}{1+n^4}\to0,\quad n\to\infty.$

Однако последовательность x_n

никак не сходится к решению. Заметим, что причиной такой ситуации является то, что пространство

, на котором задана функция

, не является компактным.

Однако есть следующая зависимость между функциями $\delta$ и $\varepsilon$ . Если предположить, что отображение является непрерывным отображением, то для любой последовательности x_n из условия

$\delta(x_n)\to0.$

следует

$\varepsilon(x_n)\to0.$

Обратное, как мы только что видели, не верно.

Дальше >>

Авторизоваться

Современные численные методы в объектно-ориентированном изложении на C#

Принципы организации вычислительных процедур

Вопросы и ответы