Принципы организации вычислительных процедур
Обратимся к способам построения операторов . Мы рассмотрим два принципиальных метода построения приближенных решений. Во-первых, это метод дискретизации. Как правило, пространство состоит из бесконечного числа элементов, более того, часто это пространство является бесконечномерным линейным пространством. А на компьютере мы можем работать только с конечными множествами. Поэтому для каждого целого вводится конечное множество и два отображения:
и Первое отображение осуществляет дискретизацию бесконечного пространства. Примером этого отображения может быть сужение непрерывной функции, заданной на отрезке на конечную сетку. Второе отображение играет роль интерполяции с конечного множества. Часто для этих отображений выполнено условие согласования: для любого элемента .Далее решается следующая задача
( 5.2) |
Вычислительные процедуры, основанные на методе дискретизации пространства, как правило, применяются для нахождения приближенных решений дифференциальных и интегральных уравнений. В том числе и для приближенного решения уравнений в частных производных.
Другим часто применяемым принципом построения вычислительных процедур является использование принципа неподвижной точки отображения. Предположим, что решение уравнения 5.1 является неподвижной точкой некоторого другого отображения , то есть если - решение задачи 5.1, то имеет место:
( 5.3) |
Во многих случаях для конструктивного нахождения неподвижной точки оператора или, соответственно, решения уравнения 5.3 используется метод простых итераций. Пусть задано начальное приближение , тогда последующие приближения строятся по формуле:
В случае, когда оператор является сжимающим отображением, то оператор имеет единственную неподвижную точку и последовательность сходится к этой точке при любом выборе начального приближения.Напомним, что отображение называется сжимающим, если существует такое число , что для любых имеет место
Рассмотрим пример на применение метода неподвижных точек. Пусть пространства и являются пространствами с евклидовой метрикой. В качестве оператора возьмем квадратную матрицу:
и рассмотрим уравнение( 5.4) |
Мы видим, что величина стремится к нулю, а сама последовательность сходится к точному решению.
Классический подход вычислительной математики состоит в том, что строится некоторая эффективно выполняемая вычислительная процедура позволяющая получать приближенные решения, которые сходятся (в том или ином смысле) к точному решению. Такой подход подразумевает, что исходная задача является корректной. Корректность задачи по Адамару означает выполнения следующих трех условий:
- Существование решения
- Единственность решения
- Непрерывная зависимость решения от оператора задач, правой части, начального условия
В начале прошлого века могло показаться, что эти условия всегда должны быть выполнены для имеющих физический смысл задач. Однако довольно быстро выяснилось, что наука и техника предъявляют большой класс задач, для которых условия некоторые из условий 1--3 не выполнены. К таким задачам относятся уравнения Фредгольма первого рода, обратные задачи для дифференциальных уравнений, задачи аналитического продолжения функций и многие другие. Задачи, для которых не выполнены какие-либо из условий 1--3, называются некорректными задачами. Некорректные задачи возникают в физике, например, неустойчивость Релея-Тейлора.
Как правило, применять классические вычислительные процедуры для решения некорректных задач не удается. В середине XX-го века известным математиком А.Н.Тихоновым были заложены основы теории регуляризации некорректных задач. Эти результаты нашли свое эффективное применение во многих научно-технических областях.
Изучение теории регуляризации некорректных задач выходит за рамки нашего курса.
Ключевые термины
Корректность задачи по Адамару - существование единственного решения у задачи и непрерывная зависимость решения от данных задачи.
Невязка приближенного решения - количественная мера неудовлетворения приближенным решением уравнению.
Операторное уравнение - уравнение в абстрактных пространства записанное с помощью операторов в этих пространствах.
Принцип неподвижной точки отображение - существование такого элемента для оператора, который отображается этим оператором в себя.
Краткие итоги: Рассмотрены различные способы организации вычислительных процедур для решения операторных уравнений. Рассмотрены вопросы связи невязки и точности решений. Приведен пример организации итерационной процедуры.