Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5216 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 12:

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910

Методы Рунге - Кутта

Наиболее эффективными и часто встречаемыми методами решениями задачи Коши являются методы Рунге - Кутта. Они основаны на аппроксимации искомой функции у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у(х) в окрестности шага h каждой i-ой точки в ряд Тейлора:

y(x_i+h) = y(x_i) + h \cdot y'(x_i) + \frac{h^2}{2!}y''(x_i) + \\
+ \frac{h^3}{3!}y'''(x_i) + \frac{h^4}{4!}y^{(4)}(x_i) + \frac{h^5}{5!}y^{(5)}(x_i) + \ldots ( 12.4)

Усекая ряд Тейлора в различных точках и отбрасывая правые члены ряда, Рунге и Кутта получали различные методы для определения значений функции у(х) в каждой узловой точке. Точность каждого метода определяется отброшенными членами ряда.

Метод Рунге - Кутта 1-го порядка (метод Эйлера)

Отбросим в (12.4) члены ряда, содержащие h2, h3, h4.

Тогда y(x_i+h)=y(x_i)+h \cdot y'(x_i).

Так как y'(x_i)=f(x_i,y_i)

Получим формулу Эйлера:

y_{i+1}=y_i + h \cdot f(x_i,y_i) ( 12.5)

Так как точность методов Рунге-Кутта определяется отброшенными членами ряда (12.4), то точность метода Эйлера на каждом шаге составляет \approx h^2.

Алгоритм метода Эйлера можно построить в виде двух программных модулей: основной программы и подпрограммы ELER, реализующей метод.

 Схема алгоритма метода Эйлера

Рис. 12.10. Схема алгоритма метода Эйлера

Здесь

(x,y) -при вводе начальная точка, далее текущие значения табличной функции,

h -шаг интегрирования дифференциального уравнения,

b -конец интервала интегрирования.

Рассмотрим геометрический смысл метода Эйлера.

Формула Эйлера имеет вид:

y_{i+1}=y_i + h \cdot f(x_i,y_i),

где f(x_i,y_i) = y'(x_i) = \tg\alpha_i.

Тогда формула Эйлера принимает вид:

y_{i+1}=y_i + h \cdot \tg\alpha_i,

где

\tg\alpha_i - тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(x) в начальной точке каждого шага.

Геометрический смысл метода Эйлера

Рис. 12.11. Геометрический смысл метода Эйлера

В результате в методе Эйлера на графике (рис 12.10) вся искомая функция y(x) на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией, каждый отрезок которой на шаге h линейно аппроксимирует искомую функцию. Поэтому метод Эйлера получил еще название метода ломаных.

В методе Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага считается постоянным и равным значению производной в начальной точке шага xi. В действительности производная, а, значит, и тангенс угла наклона касательной к кривой y(x) в пределах каждого шага меняется. Поэтому в точке xi+h наклон касательной не должен быть равен наклону в точке xi. Следовательно, на каждом шаге вносится погрешность.

Первый отрезок ломаной действительно касается искомой интегральной кривой y(x) в точке (x0,y0). На последовательных же шагах касательные проводятся из точек (xi,yi), подсчитанных с погрешностью. В результате с каждым шагом ошибки накапливаются.

Основной недостаток метода Эйлера - систематическое накопление ошибок. Поэтому метод Эйлера рекомендуется применять для решения дифференциальных уравнений при малых значениях шага интегрирования h.

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск