Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5216 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 12:

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910

Метод Рунге - Кутта 4-го порядка

Самое большое распространение из всех численных методов решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ получил метод Рунге-Кутта 4-го порядка. В литературе он известен как метод Рунге-Кутта.

В этом методе на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений искомая функция y(x) аппроксимируется рядом Тейлора (12.4), содержащим члены ряда с h4:

y(x_i+h) = y(x_i) + h \cdot y'(x_i) + \frac{h^2}{2!}y''(x_i) + \frac{h^3}{3!}y'''(x_i) + \frac{h^4}{4!}y^{(4)}(x_i)\ldots

В результате ошибка на каждом шаге имеет порядок h5.

Для сохранения членов ряда, содержащих h2,h3,h4 необходимо определить вторую y", третью y"' и четвертую y(4) производные функции y(x). Эти производные аппроксимируем разделенными разностями второго, третьего и четвертого порядков соответственно.

В результате для получения значения функции yi+1 по методу Рунге-Кутта выполняется следующая последовательность вычислительных операций:

T_1=h \cdot f(x_i,y_i),\\ 
T_2=h \cdot f(x_i+h/2,y_i+T_1/2),\\ 
T_3=h \cdot f(x_i+h/2,y_i+T_2/2),\\ 
T_4=h \cdot f(x_i+h/2,y_i+T_3),\\ 
y_{i+1}=y_1+(T_1+2 \cdot T_2+2 \cdot T_3+T_4)/6.

Вывод формулы не приведен. Предоставляется возможность вывод формул выполнить самостоятельно.

Алгоритм метода Рунге-Кутта (4-го порядка) можно построить в виде двух программных модулей: основной программы и подпрограммы Rk4, реализующей метод (рис 12.14).

Схема алгоритма метода Рунге-Кутта 4-го порядка.

Рис. 12.14. Схема алгоритма метода Рунге-Кутта 4-го порядка.

Здесь

(x,y) -при вводе начальная точка, далее текущие значения табличной функции,

h -шаг интегрирования дифференциального уравнения,

b -конец интервала интегрирования.

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск