Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5216 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 12:

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910

Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения

F(x,y,y')=0. ( 12.1)

Нормальная форма дифференциального уравнения

y'=f(x,y), ( 12.2)

где

y=y(x) -неизвестная функция, подлежащая определению,

f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения в нормальной форме, равная первой производной функции y(x). В функцию f(x,y) помимо аргумента x входит и сама неизвестная функция y(x).

Пример:

x \cdot y'-(x^2-1) \cdot y=0 - общий вид дифференциального уравнения первого порядка,

y'=\frac{x^2-1}{x} \cdot y - нормальная форма этого же уравнения.

Если неизвестная функция у зависит от одного аргумента x, то дифференциальное уравнение вида

y'=f(x,y),
называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения

y'=f(x,y),
является семейство функций у=у(х,с) (рис 12.8):


Рис. 12.8.

При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:

y\left|_{x=x_0} = y_0 \right., ( 12.3)
т.е. начальной точки с координатами (х0, у0).

Нахождение частного решения дифференциального уравнения

y'=f(x,y), ( 12.4)
удовлетворяющего начальному условию
y\left|_{x=x_0} = y_0 \right., ( 12.3)
называется задачей Коши.

В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию y_i=f(x_i), i=\overline{1,n} которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (12.2) и начальному условию (12.3) на отрезке [a,b] с шагом h, то есть найти таблицу

i x y
0 x0 y0
1 x1 y1
2 x2 y2
3 x3 y3
 ...  ...  ...
n xn yn

Здесь

h - шаг интегрирования дифференциального уравнения,

a=x0 - начало участка интегрирования уравнения,

b=xn - конец участка,

n=(b-a)/h - число шагов интегрирования уравнения.

На графике (рис 12.9) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых точек с координатами (xi ,yi), i=\overline{1,n}.


Рис. 12.9.
< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск