Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5216 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 12:

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910

Метод трапеций

Словесный алгоритм метода трапеций:

  1. Интервал [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
  2. Вычисляем значение подынтегральной функции в каждой узловой точке
    y_i=f(x), i=\overline{0,n}.
  3. На каждом шаге подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем прямой, соединяющей две соседние узловые точки. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] заменяется ломаной линией проходящей через все узловые точки.
  4. Вычисляем площадь каждой частичной трапеции.
  5. Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций, т.е.
    I=\sum \limits_{i=1}^{n-1}S_i.

Найдем площади Si частичных трапеций:

S_0=\frac{1}{2}h(y_0+y_1),\\
S_1=\frac{1}{2}h(y_1+y_2),\\
S_2=\frac{1}{2}h(y_2+y_3),\\
\ldots\\
S_{n-1}=\frac{1}{2}h(y_{n-1}+y_n).

Приближенное значение интеграла равно

I=\sum \limits_{i=1}^{n-1}S_i = \frac{h}{2} \sum \limits_{i=1}^{n}(y_i + y_{i+1}) = \frac{h}{2}(y_0 + y_n + 2\sum \limits_{i=1}^{n-1}y_i).

Точность метода трапеций имеет порядок h2.

Схема алгоритма метода трапеций представлена на рис.12.6.

Схема алгоритма метода трапеций (с автоматическим выбором шага)

Рис. 12.6. Схема алгоритма метода трапеций (с автоматическим выбором шага)

Метод Симпсона

В методе Симпсона в каждой части деления подынтегральная функция аппроксимируется квадратичной параболой a0x2+a1x+a2. В результате вся кривая подынтегральной функции на участке [a,b] заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящей из отрезков квадратичных парабол. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей под квадратичными параболами.

Т.к. для построения квадратичной параболы необходимо иметь три точки, то каждая часть деления в методе Симпсона включает два шага, т.е.

Lk=2h.

В результате количество частей деления N2=n/2. Тогда n в методе Симпсона всегда четное число.

Определим площадь S1 на участке [x0, x2] (рис.12.2).

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь S1 равна определенному интегралу от квадратичной параболы на участке [x0, x2]:

S_1=\int_{x0}^{x2}(a_0x^2 + a_1x + a_2)dx = \frac{1}{3}a_0x^3 + \frac{1}{2}a_1x^2 + a_2x\left|_{xo}^{x2} \right. =\\ 
= \frac{x_2-x_0}{6}(2a_0(x_0 + x_0x_2 +x_2^2) + 3a_1(x_0 + x_2 + 6a^2).

Неизвестные коэффициенты квадратичной параболы а0 , а1, а2 определяем из условия прохождения параболой через три узловых точки с координатами (x0y0), (x1y1), (x2y2).

На основании этого условия строим систему линейных уравнений:

\left\{ \begin{array}{l} 
a_0x_0^2 + a_1x_0 + a_2 = y_0,\\ 
a_0x_1^2 + a_1x_1 + a_2 = y_1,\\ 
a_0x_2^2 + a_1x_2 + a_2 = y_2.
\end{array} \right.

Решая эту систему, найдем коэффициенты параболы.

В результате имеем: S_1=\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2)..

Для участка [x2, x4]: S_2=\frac{h}{3}(y_2+4y_3+y_4)..

:::::::::::::::::::

Для участка [xi-1, xi+1]: S_k=\frac{h}{3}(y_{i-1}+4y_i+y_{i+1}).,

где k=\frac{i+1}{2}.

Суммируя все площади S1 под квадратичными параболами, получим квадратурную формулу по методу Симпсона:

S=\sum \limits_{k=1}^{N2}S_k = \frac{h}{3} \sum \limits_{k=1}^{N2}(y_{i-1} + 4y_i + y_{i+1}),

где

N2 - количество частей деления.

Точность метода Симпсона имеет порядок (h3/h4).

Схема алгоритма метода Симпсона представлена на рис.12.7.

Схема алгоритма Симпсона  (с автоматическим выбором шага)

Рис. 12.7. Схема алгоритма Симпсона (с автоматическим выбором шага)
< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003