Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 719 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 13:

Диаграммы

Лемма о расширении. Если все \Pi_2 -следствия теории T истинны в интерпретации A, то можно построить ее расширения A\subset B \subset
C так, чтобы B было моделью теории T, а C было элементарным расширением A.

Прежде чем доказывать лемму о расширении, покажем (хотя это нам и не понадобится), что сформулированное условие необходимо. Пусть A\hm\subset B\hm\subset C, причем C — элементарное расширение A. Тогда любое \Pi_2 -утверждение, истинное в B, истинно и в A. В самом деле, пусть утверждение \forall x \exists y \varphi(x,y) с бескванторной формулой \varphi истинно в B. Проверим его истинность в A. Если оно ложно при x=a, то \exists y\,\varphi(a,y) ложно и в A, и в C (элементарность расширения) и потому не может быть истинным в B (поскольку всякое y из B лежит и в C ).

Доказательство леммы о расширении. Что требуется от данного расширения B интерпретации A, чтобы можно было построить C с требуемыми свойствами? Свойства эти состоят в том, что C должно быть моделью теории \Th_A(A) и расширением интерпретации B. Как раз про это говорит теорема 70, надо лишь в качестве \sigma в этой теореме взять нашу сигнатуру \sigma с добавленными константами для A (мы обозначали ее \sigma_A ), а в качестве теории T из теоремы 70 взять \Th_A(A), то есть множество всех истинных в A формул с константами из A.

Применяя указанный в теореме 70 критерий, можно сформулировать утверждение, которое нам осталось доказать, так: найдется модель B теории T, которая является расширением A и в которой истинны все \Pi_1 -формулы сигнатуры \sigma_A, выводимые из \Th_A(A). Вспоминая метод диаграмм, можно сказать, что нас интересует совместность теории T с D(A) и со всеми \Pi_1 - следствиями теории \Th_A(A) в сигнатуре \sigma_A. В данном случае D(A) можно и не упоминать явно, так как оно содержится в \Th_A(A).

Итак, осталось доказать, что теория T совместна со всеми \Pi_1 -формулами с константами из A, истинными в A. Если это не так, из T выводится отрицание какой-то из этих формул, то есть некоторая \Sigma_1 -формула

\exists \beta_1\dots\exists \beta_m\,
           \lnot\varphi(a_1,\dots,a_n,\beta_1,\dots,\beta_m),
ложная в A. Константы a_1,\dots,a_n не входят в теорию T, поэтому из T выводится и формула
\forall \alpha_1\ldots\forall \alpha_n
\exists \beta_1\dots\exists \beta_m\,
           \lnot\varphi(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_m),
которая будет выводимой из T формулой класса \Pi_2, ложной в A, а таких формул не бывает по условию.

Лемма о расширении (а с ней и теорема Чэна-Лося-Сушко) доказана.

154. Докажите, что если формула устойчива относительно объединения возрастающих цепей, то она выводимо эквивалентна некоторой \Pi_2 -формуле той же сигнатуры.

155. Покажите, что две интерпретации одной сигнатуры элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные элементарные расширения.