Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 710 / 31 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 12:

Теории и модели

Аннотация: Рассматриваются аксиомы равенства на произвольных сигнатурах, критерии существования для соответствующих теории, вопросы полноты теорий

Аксиомы равенства

Пусть сигнатура \sigma включает в себя двуместный предикат равенства (записываемый традиционно x=y ). Интерпретация этой сигнатуры называется нормальной,если предикат равенства интерпретируется как тождественное совпадение элементов носителя.

Возникает естественный вопрос. Пусть имеется некоторая теория T (множество замкнутых формул) в языке, сигнатура которого включает равенство. Мы знаем что теория имеет модель (интерпретацию, в которой все формулы из T истинны) тогда и только тогда, когда она непротиворечива. В каком случае она имеет нормальную модель (нормальную интерпретацию, в которой все формулы из T истинны)?

Чтобы ответить на этот вопрос, введем аксиомы равенства. Пусть \sigma произвольная сигнатура. Аксиомами равенства в сигнатуре \sigma будут формулы

\begin{align*}
\forall x&\,(x=x),\\
\forall x\forall y &\,((x=y)\to(y=x)),\\
\forall x\forall y\forall z&\, (((x=y)\land (y=z))\to(x=z))
        \end{align*}
(называемые аксиомами рефлексивности, симметричности и транзитивности). Это еще не все. Для каждого функционального символа мы формулируем аксиому равенства, которая говорит, что его значение не меняется, если аргументы заменить на равные. Например, для двуместного функционального символа f соответствующая аксиома выглядит так:
\begin{align*}
\forall x_1 \forall x_2 \forall y_1 \forall y_2\,
 (((x_1=x_2)\land(y_1=y_2))\to\\
\to (f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2))).
        \end{align*}
Для предикатных символов аксиомы равенства говорят, что истинный предикат остается истинным, если заменить аргументы на равные. Например, для двуместного предикатного символа A аксиома такова:
\begin{align*}
\forall x_1 \forall x_2 \forall y_1 \forall y_2\,
 (((x_1=x_2)\land(y_1=y_2)\land A(x_1,y_1)\to\\
                    \to A(x_2,y_2)).
        \end{align*}
(Нет необходимости специально говорить, что предикат остается ложным при замене аргументов на равные, так как равенство симметрично.)

Теорема 59 (полноты для нормальных моделей). Теория T сигнатуры \sigma с равенством имеет нормальную модель тогда и только тогда, когда она остается непротиворечивой при добавлении аксиом равенства.

Прежде всего заметим, что теоремы о корректности и полноте (раздел "Полнота исчисления предикатов") позволяют говорить о совместности вместо непротиворечивости.

В нормальной модели теории T аксиомы равенства истинны, так что в одну сторону утверждение теоремы очевидно. Нам осталось показать, что если теория T совместна с аксиомами равенства, то она имеет нормальную модель.

Возьмем произвольную интерпретацию, в которой истинны формулы из T и аксиомы равенства. Пусть M — ее носитель. В этой интерпретации предикат = не обязан быть настоящим равенством; он представляет собой некоторое бинарное отношение на M. Поскольку выполнены аксиомы равенства, это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно (является отношением эквивалентности). Следовательно, множество M разбивается на классы эквивалентности; множество этих классов обозначим M' (его можно назвать фактор-множеством M по данному отношению эквивалентности). Класс элемента x будем обозначать [x].

Аксиомы равенства позволяют корректно определить интерпретацию c носителем M'. В самом деле, истинность аксиомы для функционального символа f (приведенной выше в качестве примера) гарантирует, что класс [f(x,y)] зависит лишь от классов [x] и [y], но не от выбора x и y внутри класса. Аналогичным образом аксиомы для предикатных символов позволяют корректно определить предикаты на классах.

Полученная интерпретация с носителем M' по построению нормальна. Осталось убедиться, что в ней истинны те же самые формулы, что и в M (в том числе все формулы теории T ). Это почти очевидно с интуитивной точки зрения: M отличается от M' лишь тем, что каждый элемент представлен несколькими равноправными копиями, которые со всех точек зрения ведут себя одинаково.

Формально говоря, мы доказываем, что формула \varphi истинна в интерпретации M на оценке \pi тогда и только тогда, когда \varphi истинна в M' на оценке \pi', при которой значение любой переменной \xi есть класс, содержащий значение переменной \xi при оценке \pi. Это легко сделать индукцией по построению формулы \varphi.

111. Покажите, что из аксиом равенства для сигнатуры \sigma выводится формула

\varphi \land (x=y) \to \varphi(y/x),
если подстановка в правой части корректна. (Указание: это очевидно следует из теоремы о полноте, но можно провести и чисто синтаксическое рассуждение индукцией по построению формулы \varphi.)

112. Покажите, что если теория T (не обязательно с равенством) имеет модель мощности \alpha, то она имеет и модель любой большей мощности. (Указание: элементы модели можно "клонировать" в произвольном количестве.)

Из теоремы о полноте для нормальных моделей легко следует аналог теоремы о компактности (теорема 50) для нормальных моделей.

Теорема 60 (компактности для нормальных моделей). Если всякое конечное подмножество теории T в сигнатуре с равенством имеет нормальную модель, то и теория T имеет нормальную модель.

Любое конечное подмножество теории T остается непротиворечивым при добавлении аксиом равенства (поскольку имеет нормальную модель). Значит, и вся теория T остается непротиворечивой при добавлении аксиом равенства (вывод противоречия использует конечное число формул) и потому имеет нормальную модель.

113. Применив теорему о компактности, докажите, что всякий частичный порядок может быть продолжен до линейного. (Указание. Рассмотрим частично упорядоченное множество как модель теории, в сигнатуре которой есть равенство, порядок и константы для всех элементов множества, а формулами являются равенства и неравенства между константами. Добавим к ней утверждение о сравнимости любых двух элементов. Покажите, что любое конечное множество формул полученной теории непротиворечиво, используя тот факт, что частичный порядок на конечном множестве продолжается до линейного.)

114. Используя теорему о компактности, докажите, что для всякого поля k сушествует его расширение k', в котором всякий многочлен с коэффициентами из k имеет корень. (Указание. Утверждение о существовании корня у многочлена с данными коэффициентами можно записать в виде формулы. Любое конечное множество таких формул совместно с аксиомами поля, так как можно по очереди присоединить корни соответствующих многочленов.)

115. Пусть \Gamma — множество замкнутых формул в сигнатуре с равенством. Покажите, что замкнутая формула \varphi этой сигнатуры истинна во всех нормальных моделях \Gamma тогда и только тогда, когда она выводима из \Gamma и аксиом равенства.

Утверждение последней задачи является аналогом теоремы 51 для теорий с равенством. Иногда вообще рассматривают только такие теории. При этом равенство является обязательным элементом сигнатуры, аксиомы равенства (их число зависит от сигнатуры) считаются частью исчисления предикатов, а интерпретации рассматриваются только нормальные. При этом теория имеет [нормальную] модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива [вместе с аксиомами равенства]; формула выводима из теории \Gamma [и аксиом равенства] тогда и только тогда, когда она верна во всех [нормальных] моделях теории \Gamma и т. п. (в квадратных скобках указаны подразумеваемые слова).