Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 13:

Диаграммы

Теорема 73. Теория является \Sigma_1 -аксиоматизируемой тогда и только тогда, когда она устойчива относительно перехода к расширениям.

151. Проведите подробно соответствующее рассуждение (дав необходимые определения).

152. Докажите, что если формула устойчива относительно перехода к расширениям, то она выводимо эквивалентна \Sigma_1 -формуле той же сигнатуры.

Теоретико-модельные критерии существуют и для других классов формул, в частности \Pi_2 -формул (то есть формул типа \forall\exists ). Такие формулы не устойчивы ни относительно расширений, ни относительно подструктур. Рассмотрим, например, утверждение об отсутствии наибольшего элемента в упорядоченном множестве. Оно записывается в виде \forall\exists -формулы. Истинность его в некотором множестве вовсе не влечет его истинность в подмножествах и в расширениях. Тем не менее кое- что об этом утверждении сказать можно: если ни одно из множеств возрастающей цепи M_0\hm\subset M_1\hm\subset M_2\hm\subset\dots не имеет наибольшего элемента, то и объединение \cup_i M_i не имеет наибольшего элемента (проверьте). Именно это свойство, как мы вскоре увидим, характеризует \Pi_2 -формулы.

Пусть дана последовательность

M_0\hm\subset M_1\hm\subset M_2\hm\subset\ldots
нормальных (в этом разделе мы другие не рассматриваем) интерпретаций сигнатуры \sigma, причем M_i является подструктурой M_{i+1} (предикаты и функции согласованы). Тогда объединение этой возрастающей цепи интерпретаций также является (нормальной) интерпретацией сигнатуры \sigma. (Подобная конструкция используется в теории полей, когда строится алгебраическое замыкание счетного поля: мы расширяем поле, добавляя по очереди корни различных многочленов, а потом берем объединение этих полей.)

Заметим, что любая \Pi_2 -формула устойчива относительно объединения цепей: если она истинна во всех M_i, то она истинна и в их объединении. В самом деле, пусть формула \forall
x \exists y\, \varphi(x,y) с бескванторной частью \varphi(x,y) истинна во всех M_i. Тогда она истинна и в их объединении. В самом деле, любое x из объединения принадлежит какому-то M_i, и в том же самом M_i можно найти подходящее y. (Если переменных несколько, рассуждение аналогично.)

Поэтому и любая теория, имеющая \Pi_2 -аксиоматизацию, устойчива относительно объединения. Обратное утверждение также верно:

Теорема 74 (Чэна-Лося-Сушко). Теория является \Pi_2 -аксиоматизируемой тогда и только тогда, когда она устойчива относительно объединения возрастающих цепей (объединение любой цепи ее моделей также является ее моделью).

Доказательство этой теоремы использует понятие элементарного расширения. Напомним, что M_2 называется элементарным расширением M_1, если M_1\hm\subset M_2 и в M_2 истинны те же формулы с константами из M_1, что и в M_1. (Обозначение: M_1\hm\prec M_2.)

153. Покажите, что если M_1\hm\prec M_2 \hm\prec M_3, то M_3 есть элементарное расширение M_1.

Лемма Тарского. Объединение цепи элементарных расширений M_1\hm\prec
M_2\hm\prec M_3\hm\prec\ldots является элементарным расширением каждой из интерпретаций цепи.

Доказательство леммы. Пусть параметрам формулы \varphi приданы значения в каком-либо из M_i. Нам надо доказать, что полученная формула одновременно истинна или ложна в M_i и в объединении цепи, которое мы обозначим через M. (Условие леммы гарантирует, что формула \varphi с указанными значениями параметров одновременно истинна или ложна во всех интерпретациях цепи, начиная с M_i.)

Это утверждение доказывается индукцией по построению формулы \varphi. Для атомарных формул оно очевидно; для логических операций индукция также проходит автоматически. Единственный содержательный случай — это кванторы. Пусть формула \varphi начинается с квантора \exists \xi. Если подходящее значение \xi найдется уже в M_i, то оно годится и для M (пользуемся предположением индукции). В обратную сторону: если подходящее \xi найдется в M, то оно принадлежит M_j при достаточно большом j, поэтому формула истинна в M_j (предположение индукции). Остается вспомнить, что M_j элементарно эквивалентно M_i.

Как всегда, квантор всеобщности можно выразить с помощью квантора сушествования (или провести двойственное рассуждение). Лемма Тарского доказана.

Теперь докажем теорему Чэна-Лося-Сушко. Предположим, что теория T устойчива относительно объединения цепей. Обозначим через T' множество всех \Pi_2 -теорем T. Нам надо доказать, что любая модель T' является моделью T.

Для этого, начав с любой модели M' теории T', мы построим цепь интерпретаций

M'= M_0\subset M_1\subset M_2\subset M_3\subset\ldots,
в которой чередуются модели теории T' (интерпретации M_0,M_2,M_4,\dots ), которые являются элементарными расширениями друг друга, и модели теории T (интерпретации M_1,M_3,M_5,\dots ; они, впрочем, также будут моделями теории T' ).

Объединение всех M_i будет моделью теории T, так как эта теория устойчива относительно расширений. С другой стороны, по лемме Тарского это объединение элементарно эквивалентно интерпретациям M_0,M_2,M_4,\dots Поэтому все они, включая исходную модель M'\hm=M_0, будут моделями теории T, что и требовалось доказать.

Осталось построить требуемую цепь. Интерпретация M_0\hm=M' уже есть. Будем строить цепь по шагам, продолжая ее на каждом шаге на два звена вперед. Возможность этого обеспечивает такая лемма: