Диаграммы

Диаграммы и расширения

В разделе "Повышение мощности" мы видели, что элементарные расширения интерпретации суть модели теории . А что можно сказать о расширениях (без требования элементарности)? Оказывается, что ситуация тут аналогична, только теория будет бескванторной.

Пусть дана нормальная интерпретация сигнатуры (включающей равенство). Как и в прошлом разделе, рассмотрим сигнатуру , которая получается добавлением к констант для всех элементов интерпретации . Рассмотрим теперь все бескванторные формулы сигнатуры , истинные в . Это множество называется диаграммой интерпретации и обозначается .

Всякое расширение (в котором является подструктурой) является моделью теории . В самом деле, истинность бескванторных формул из никак не зависит от присутствия или отсутствия дополнительных элементов, раз операции на элементах из те же самые). Обратно, любую модель теории можно считать расширением интерпретации , если отождествить со значением соответствующей константы в . (Как и раньше, различные элементы не склеиваются — формула является бескванторной.)

Теперь мы готовы дать ответ на такой вопрос. Пусть есть нормальная интерпретация сигнатуры и некоторая теория (с равенством) этой сигнатуры. В каком случае существует расширение интерпретации , являющееся нормальной моделью теории ?

Теорема 70. Нормальная интерпретация сигнатуры может быть расширена до нормальной модели теории (с равенством) тогда и только тогда, когда все -формулы сигнатуры , выводимые из , истинны в .

Если -формула истинна в некоторой структуре, то она истинна и в подструктуре (область, по которой пробегают переменные в кванторах всеобщности, только уменьшается). Если некоторое расширение интерпретации является моделью теории , то все -формулы, выводимые из , истинны в , а потому и в .

Осталось доказать обратное: если в истинны все -следствия формул из , то существует искомое расширение. Согласно сказанному выше, достаточно доказать, что теория непротиворечива. Если это не так, то из выводится некоторая бескванторная формула , ложная в . Но в формулы теории константы не входят, поэтому их можно заменить на свежие переменные и вывести формулу и затем Таким образом, мы нашли -теорему теории , которая ложна в (поскольку формула ложна), вопреки нашему

Рассмотрим пример из алгебры. Пусть — множество с заданной на нем операцией. В каком случае его можно вложить в коммутативную группу? Согласно теореме 70, для этого необходимо и достаточно, чтобы в выполнялись все - следствия аксиом коммутативной группы (записанных в сигнатуре с единственной операцией умножения). Некоторые из этих аксиом сами являются -формулами. Таковы, например, свойства коммутативности и ассоциативности. Другие аксиомы (существование единицы и обратного) не лежат в (например, аксиома о существовании единицы имеет вид ). Поэтому они не обязаны выполняться в . Но их - следствия, например, правило сокращения

147. Докажите это утверждение. (Указание. Элементами группы можно считать классы формальных выражений вида , как это делается, когда от натуральных чисел переходят к целым. В общей ситуации эту группу называют группой Гротендика.)

Вот еще один хорошо известный пример из алгебры. В каком случае коммутативное кольцо может быть вложено в поле? Теорема 70 требует, чтобы в выполнялись все -теоремы теории полей. Оказывается, что достаточно выполнения единственного -свойства: отсутствия делителей нуля:

148. Докажите это утверждение. (Указание. Это поле называют полем частных; его элементами являются формальные дроби вида при естественных определениях равенства и операций.)

Не всегда, однако, можно указать простые критерии вложимости. Мы не зря требовали коммутативности: известный советский алгебраист и логик А.И.Мальцев доказал, что не всякое некоммутативное кольцо без делителей нуля вкладывается в тело и что никакое конечное число -формул не дают критерия вложимости полугруппы в группу (подробнее см. в книге Куроша [14],глава II, параграф 5).

Мы знаем теперь, когда данную интерпретацию можно расширить до модели данной теории. Это позволяет легко ответить и на такой вопрос: когда существует модель данной теории и ее расширение, являющееся моделью другой теории.