Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 13:

Диаграммы

Теорема 71. Пусть даны две теории (с равенством) T_1 и T_2 некоторой сигнатуры. Тогда следующие свойства равносильны:

(а) существует нормальная модель теории T_1 и ее расширение, являющееся нормальной моделью теории T_2 ;

(б) объединение T_1 со всеми \Pi_1 -теоремами теории T_2 совместно;

(в) объединение T_2 со всеми \Sigma_1 -теоремами теории T_1 совместно.

Прежде всего отметим, что из (а) очевидно следуют (б) и (в). В самом деле, если M_1\subset M_2 — модели соответствующих теорий, то в M_1 истинны все теоремы теории T_1 и все \Pi_1 -теоремы теории T_2 (поскольку они наследуются из M_2 ), а в M_2 истинны все теоремы теории T_2 и все \Sigma_1 -теоремы теории T_1.

Легко проверить, что симметричные условия (б) и (в) равносильны друг другу, а также такому свойству: не существует \Sigma_1 - теоремы \exists x_1\ldots\exists x_n\,\varphi теории T_1 и отрицающей ее \Pi_1 -теоремы \forall x_1\ldots\forall
x_n\,\lnot\varphi теории T_2. Пусть, например, теория T_1 несовместна с \Pi_1 -следствиями теории T_2. В этом противоречии участвует конечное число \Pi_1 -формул, которые можно объединить в одну. Получится \Pi_1 -формула, она будет выводима в теории T_2, а ее отрицание — в T_1.

Нам осталось доказать, что любое из свойств (б) и (в) влечет (а). Здесь нам придется нарушить симметрию и использовать именно (б). По условию есть интерпретация M_1, в которой истинны все теоремы теории T_1 и все \Pi_1 -теоремы теории T_2. Согласно теореме 70 найдется ее расширение M_2, являющееся моделью T_2, что и требовалось доказать.

Можно было бы пытаться рассуждать симметричным образом, начав с модели теории T_2, в которой истинны все \Pi_1 -теоремы теории T_1, и пытаться выделить в ней подструктуру, являющуюся моделью теории T_1. Однако этот план не проходит, поскольку аналог теоремы 70 для подструктур неверен.

149. Покажите, что возможна такая ситуация: все \Sigma_1 -теоремы некоторой теории T истинны в некоторой интерпретации M, но M не имеет подструктуры, являющейся моделью теории T. (Указание. Рассмотрим теорию линейно упорядоченных множеств без минимального элемента. Все ее \Sigma_1 -следствия верны в \mathbb{N}\hm+\mathbb{Z}, поскольку переносятся из \mathbb{Z}, поэтому в силу элементарной эквивалентности верны и в \mathbb{N}.)

Вот еще одно следствие доказанных в этом разделе результатов. Теорию T называют \Pi_1 -аксиоматизируемой, если существует множество \Pi_1 -формул, из которого выводятся все теоремы теории T и только они.

Напомним, что нормальная интерпретация A сигнатуры \sigma является подструктурой нормальной интерпретации B той же сигнатуры, если B является расширением A, то есть носитель интерпретации A есть подмножество носителя интерпретации B и функциональные и предикатные символы интерпретируются одинаково на аргументах из A. (Другими словами, чтобы задать какую-либо подструктуру данной нормальной интерпретации B, нужно выбрать подмножество носителя B, замкнутое относительно сигнатурных операций.)

Теорема 72 (Лося-Тарского). Теория \Pi_1 -аксиоматизируема тогда и только тогда, когда она устойчива относительна перехода к подструктурам, то есть когда любая подструктура любой ее нормальной модели является ее моделью.

Очевидно, \Pi_1 -аксиоматизируемая теория устойчива относительно перехода к подструктурам (все формулы из ее \Pi_1 -аксиоматизации остаются истинными). Обратно, пусть T — произвольная теория, устойчивая относительно перехода к подструктурам. Рассмотрим множество T_1 всех \Pi_1 - формул, выводимых в T. Проверим, что все теоремы T выводятся из T_1. Пусть какая-то формула \varphi выводится из T, но не из T_1. Тогда теория T_1+\lnot\varphi непротиворечива и по теореме 71 найдется (нормальная) модель теории \{\lnot\varphi\} и ее расширение, являющееся моделью теории T, что противоречит предположению.

150. Докажите, что если формула устойчива относительно перехода к подструктурам, то она выводимо эквивалентна \Pi_1 -формуле той же сигнатуры.

Симметричное рассуждение доказывает симметричное утверждение про \Sigma_1 -аксиоматизируемые теории.