Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 719 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 13:

Диаграммы

Теория полугрупп

Наш второй пример — теория полугрупп. Ее сигнатура состоит из равенства и единственного двуместного функционального символа, называемого умножением; результат умножения x и y мы будем обозначать (xy).

Теория состоит из аксиом равенства (включая корректность умножения: (x_1\hm=x_2)\hm\land (y_1\hm=y_2) \hm\to
(x_1y_1\hm=x_2y_2) ; мы опускаем внешние кванторы всеобщности) и аксиомы ассоциативности

\forall x \forall y \forall z \,  ((xy)z=x(yz)).

Нормальные модели этой теории называются полугруппами.

Теорема 69. Множество теорем теории полугрупп (множество замкнутых формул указанной сигнатуры, истинных во всех полугруппах) неразрешимо.

Нам понадобится конкретный способ задания полугрупп с помощью образующих и соотношений. Пусть фиксировано некоторое конечное множество, называемое алфавитом. Элементы его называют буквами, а конечные последовательности букв — словами (данного алфавита). На словах определена операция соединения (приписывания), относительно которой они образуют полугруппу, которая называется свободной полугруппой. Эта полугруппа имеет нейтральный элемент — пустое слово, приписывание которого к любому слову не меняет последнего.

Пусть фиксирован алфавит A, а также конечное число пар слов (X_1, Y_1),\dots,(X_n,Y_n) этого алфавита. Два слова алфавита A назовем эквивалентными, если одно можно превратить в другое, многократно делая замены подслов вида X_i\hm\leftrightarrow Y_i. Легко проверить, что получается отношение эквивалентности и что операция приписывания корректно определена на классах эквивалентности и ассоциативна. Получается полугруппа. Ее называют полугруппой с образующими из A и соотношениями X_i=Y_i.

141. Сколько элементов в полугруппе с образующими a и b и соотношениями a^2=\Lambda, b^2=\Lambda, ab=ba (через \Lambda мы обозначаем пустое слово)? (Ответ: 4 ; это группа (\mathbb Z/2\mathbb Z)\times(\mathbb Z/2\mathbb Z).)

Известно, что существуют такие образующие и соотношения, при которых проблема равенства слов (выяснить, принадлежат ли два данных слова одному классу эквивалентности) является алгоритмически неразрешимой (подробнее см. в [5]). Мы сейчас покажем, что этот вопрос можно свести к вопросу о выводимости некоторой формулы в теории полугрупп, так что если бы она была разрешимой, то получилось бы противоречие.

Построение такой формулы происходит весьма естественным образом; мы поясним его на примере. Пусть мы хотим узнать, будут ли слова bb и a равны в полугруппе с образующими a и b и соотношениями ab\hm=aa и bab=b. (Другими словами, мы хотим узнать, можно ли из слова bb получить слово a с помощью замен подслов ab\hm\leftrightarrow aa и bab\hm\leftrightarrow b.) Как сформулировать этот вопрос в терминах формул? Напишем такую формулу:

\forall a\forall b\,((ab=aa)\land(bab=b)\to(bb=a)).
Она является теоремой теории полугрупп (истинна во всех полугруппах, выводима из аксиом полугрупп) тогда и только тогда, когда слова bb и a эквивалентны в указанной полугруппе, заданной образующими и соотношениями. В самом деле, если одно слово можно получить из другого заменами, то эти замены (в предположении ab=aa и bab=a ) ничего не меняют и bb\hm=a, так что написанная формула истинна во всех полугруппах.

Напротив, если слово a не получается из bb заменой, то существует полугруппа, в которой эта формула не истинна: надо взять как раз полугруппу с образующими a и b и соотношениями ab\hm=aa и bab\hm=b, значением переменной a считать класс слова a, а значением переменной b считать класс слова b. Тогда значением терма ab будет класс слова ab, равный классу слова aa по построению полугруппы. Аналогичным образом при такой оценке будет истинно и равенство bab\hm=b. А равенство bb=a не будет истинно, так как значение терма bb есть класс слова bb, значение терма a есть класс слова a, а эти классы различны по предположению.

Таким образом, любой алгоритм, проверяющий истинность формул в классе всех полугрупп, можно было бы использовать для проверки равенства двух слов в полугруппе, заданной образующими и соотношениями. А среди таких полугрупп есть неразрешимые.

Теория групп (в которой, помимо ассоциативности, есть еще аксиомы существования единицы и обратного), также неразрешима, но доказательство этого сложнее, чем для полугрупп. Это и не удивительно, поскольку из неразрешимости теории групп формально выводится неразрешимость теории полугрупп, как показывает следующая задача.

142. Пусть теория T разрешима, а теория T' той же сигнатуры получается из T добавлением конечного числа аксиом. Тогда теория T' разрешима. (Указание: дополнительные аксиомы соединяем конъюнкциями и помещаем в посылку импликации.)

Добавление аксиом может сделать неразрешимую теорию разрешимой. Например, как мы уже упоминали, это происходит с теорией групп при добавлении аксиомы коммутативности.