Арифметическая иерархия

Классификация множеств в иерархии

Интересно посмотреть, какое место разные конкретные множества занимают в описанной нами иерархии. Например, что можно сказать о множестве номеров какой-то фиксированной вычислимой функции в главной нумерации?

Мы уже говорили, что множество всех номеров всех функций с непустой областью определения перечислимо, то есть принадлежит классу . Следовательно, его дополнение, множество всех номеров нигде не определенной функции, принадлежит классу . (Классу оно принадлежать не может, так как неразрешимо, см. теорему 21)

  70.Докажите, что множество номеров нигде не определенной функции в любой главной нумерации является m -полным в классе множеством.

А что можно сказать о номерах других функций? Например, что можно сказать о множестве номеров тождественно нулевой функции? Оказывается, можно получить в некотором смысле полный ответ на этот вопрос.

Теорема 59. (а) Пусть U вычислимая универсальная функция для класса вычислимых функций. Тогда множество тех n, при которых U_n всюду определено и тождественно равно 0, принадлежит классу . (б) Пусть U главная универсальная функция. Тогда указанное множество является m -полным в классе .

Заметим, что требование главности в пункте (б) существенно: в однозначной нумерации это множество состоит из единственного номера.

Интересующее нас свойство числа n можно записать так: для любого k найдется такое t, что за t шагов вычисление значения U(n,k) закончится и даст результат 0. Выделенная часть является разрешимым свойством, а перед ней стоят два квантора как раз нужного вида. Итак, пункт (а) доказан.

Докажем утверждение (б). Пусть имеется произвольное множество P из класса . При этом

где R некоторое разрешимое свойство. Рассмотрим теперь функцию S(x,y), вычисляемую таким алгоритмом: перебирая все числа, ищем число z, для которого R(x,y,z) ; как только (и если) такое число найдено, выдаем на выход 0. Ясно, что x -ое сечение S_x функции S будет тождественно нулевой функцией в том и только том случае, когда . Применим свойство главности и получим функцию s, для которой U_s(x)=S_x. Она и будет сводить P к множеству всех номеров тождественно нулевой функции.

Что можно сказать про другие функции? Для любой вычислимой универсальной функции U и любой вычислимой функции f множество всех U -номеров функции f является -множеством. Верен даже более сильный факт: свойство U_m=U_n (числа m и n являются номерами одной и той же функции) является -свойством пары , поэтому тем более любое его сечение (е множество всех номеров любой конкретной функции) является -множеством.В самом деле, свойство U_m=U_n можно сформулировать так: " для всяких x и t₁ найдется такое t₂, что если вычисление U(m,x) завершается за t₁ шагов, то вычисление U(n,x) завершается за t₂ шагов с тем же результатом, и наоборот ". Выделенная часть разрешима, а до нее стоит -префикс.

Можно даже понять, для каких функций множество номеров является -полным: для функций с бесконечной областью определения. Если область определения функции конечна, то множество всех ее номеров является 0' -разрешимым (и потому не -полным): имея оракул для проблемы остановки, можно убедиться, что функция определена всюду, где она должна быть определена (после чего проверить, что значения правильны), а затем проверить, что ни в одной из оставшихся точек она не определена (процесс поиска точки вне данного конечного множества, в которой функция определена, является перечислимым процессом и потому его успешность может быть проверена с помощью 0' -оракула).

Если же функция имеет бесконечную область определения, то существует бесконечное разрешимое множество, во всех точках которого функция определена (задача 12). Затем можно использовать по существу ту же конструкцию, что и для нулевой функции, но только внутри этого подмножества (не трогая элементов вне него).

  71.Проведите это рассуждение подробно.

  72.Покажите, что множество всех номеров всех всюду определенных функций (в главной нумерации) является -полным.

  73.В каком наименьшем классе арифметической иерархии лежит множество номеров всех функций с бесконечной областью определения? Будет ли оно m -полным в этом классе?

  74.Покажите, что для любой (не обязательно главной!) нумерации множество всех номеров всюду определенных функций неперечислимо. Более того, оно не имеет перечислимого подмножества, включающего в себя хотя бы по одному номеру каждой вычислимой всюду определенной функции. (Указание: используйте диагональную конструкцию.)

В книге Х.Роджерса ([8], параграф 14.8) приведено много результатов подобного рода для многих других свойств вычислимых функций и перечислимых множеств. Например, для любого m -полного множества K множество всех его номеров является -полным. (Здесь и далее, говоря о номерах, мы имеем в виду главную нумерацию перечислимых множеств.) Множество номеров всех конечных множеств является -полным. Множество номеров множеств, содержащих хотя бы один номер бесконечного множества, является -полным. Множество номеров всех разрешимых множеств является -полным. Множество номеров всех множеств с конечными дополнениями является -полным.

  75. Докажите перечисленные утверждения (или прочтите их доказательства в книге Роджерса [8]).

  76. Рассмотрим квантор , который читается как "существует бесконечно много x, для которых". Покажите, что все свойства из класса (и только они) представимы в виде

x,(разрешимое свойство)

и что все свойства из класса (и только они) представимы в виде

(разрешимое свойство).

(Аналогичное утверждение верно и для старших классов, см. теорему XVIII в разделе 14.8 книги [8].)