Основы теории вычислимых функций
[+]
Опубликован: 16.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 531 / 43 | Оценка: 4.45 / 4.18 | Длительность: 15:50:00
Тема: Алгоритмы и дискретные структуры
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгоритмы, всюду определенные функции, вычисления, вычислимость, вычислительная модель, графика, дополнение множества, одноместная функция, полугруппа, примитивная рекурсия, примитивно рекурсивная функция, процедуры, разрешимые множества, теория, универсальное множество, частично рекурсивная функция, элементы, эффективность
Лекция 11:

Рекурсивные функции
A
|
версия для печати
< Лекция 10 || Лекция 11: 12345
Аннотация: Посвящена рекурсивным операциям, функциям и множествам, приведены примеры, рассмотрены различные виды рекурсии (примитивная, совместная, возвратная), а также частично рекурсивные функции и нормальные алгоритмы Маркова.
Ключевые слова: ассемблер, программирование, функция, операции, значение, константы, подстановка, вычислительная модель, опыт, одноместная функция, рекурсия, вычитание, примитивно рекурсивная функция, пересечение, объединение, Дополнение, множества, остаток от деления, свойства множества, Произведение, делителем, график, графика, факториал, простое число, рекурсивно определенная функция, определение, примитивная рекурсия, нумерация, рекурсивное определение, многочлен, номер последовательности, класс, кодирование, основание, пробел, деление, умножение, сложение, конфигурация, место, слово, цикла, операторы, всюду определенные функции, primitive, recursive function, general, recursive, частично рекурсивная функция, минимизация, класс частично рекурсивных функций, алгорифм, универсальный алгоритм, доказательство, интерпретатор, корректность, доказательство теорем, проекция, область определения, базисные функции, отрезок, композиция функций, вектор, прямой

Примитивно рекурсивные функции

Программы с конечным числом переменных напоминали ассемблер; рассматриваемые в этом разделе рекурсивные функции скорее напоминают функциональное программирование, когда одни функции определяются через другие. Мы будем рассматривать функции с натуральными аргументами и значениями. Вообще говоря, функции могут быть не всюду определенными, так что говоря о функции n аргументов (функции из Nn в N, n -местной функции), мы имеем в виду функцию, определенную на некотором подмножестве Nn со значениями в N.

Пусть имеется k -местная функция f и k штук n -местных функций g1,...,gk. Тогда из них можно сформировать одну n -местную функцию

\langle x_1,\dots,x_n\rangle \mapsto f(g_1(x_1,\dots,x_n),\dots,g_k(x_1,\ldots,x_n)).

Говорят, что определенная таким образом функция получена из функций f и g1,...,gk с помощью операции подстановки.

Другая операция, называемая операцией рекурсии, или примитивной рекурсии, применяется к k -местной функции f и (k+2) -местной функции g. Ее результатом будет (k+1) -местная функция h, определяемая так:

h(x1,...,xk,0)=f(x1,...,xk);
h(x1,...,xk,y+1)=g(x1,...,xk,y,h(x1,...,xk,y)).

В последовательности h(x1,...,xn,0),h(x1,...,xn,1),... каждое значение определяется через предыдущее, поэтому если какое-то из значений не определено, то не определены и все последующие.

Для единообразия будем считать, что нуль-местные функции (функции без аргументов) суть константы; это позволяет рекурсивно определять функции одной переменной.

Примитивно рекурсивными называют функции, которые можно получить с помощью операций подстановки и рекурсии из следующих базисных функций: константы 0, операции прибавления единицы s : x \mapsto x+1 и семейства функций проекции: это семейство для каждого k содержит k штук k -местных функций \pi _{k}^{i}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{i}.

Функции проекции позволяют выполнять " неоднородные" подстановки: скажем, можно получить функцию \langle x,y\rangle\hm\mapsto f(g(x),h(y,x,y),x) из функций f и h, комбинируя их с функциями проекции: сначала получаем функцию \langle x,y\rangle \hm\mapsto g(x) (подстановка \pi _{2}^{1} в g ), затем \langle x,y\rangle \hm\mapsto h(y,x,y) (подстановка \pi _{2}^{2},\pi _{2}^{1},\pi _{2}^{2} в h ), затем полученные две функции вместе с функцией \pi _{2}^{1} подставляем в f.

Подставляя константу 0 в функцию прибавления единицы, получаем константу (функцию нуля аргументов) 1. Затем можно получить константы 2, 3 и т.д.

Примеры примитивно рекурсивных функций

Как и с другими вычислительными моделями, важно накопить некоторый программистский опыт.

Сложение. Функция \langle x,y\rangle \mapsto sum(x,y)\hm= x\hm+y получается с помощью рекурсии:

sum(x,0)=x;
     sum(x,y+1)=sum(x,y)+1.

Надо, конечно, представить правую часть второго равенства как результат подстановки. Формально говоря, h(x,y,z) в определении рекурсии надо положить равным s(z), где s функция прибавления единицы.

Умножение. Функция \langle x,y\rangle \mapsto prod(x,y)\hm= xy получается с помощью рекурсии (с использованием сложения):

prod(x,0)=0;
     prod(x,y+1)=prod(x,y)+x.

Аналогичным образом можно перейти от умножения к возведению в степень.

Усеченное вычитание. Мы говорим об " усеченном вычитании" x\subtr y\hm= x\hm-y при x\hm\ge y и x\subtr y\hm= 0 при x\hm<y, поскольку мы имеем дело только с натуральными (целыми неотрицательными) числами. Одноместная функция усеченного вычитания единицы определяется рекурсивно:

\begin{align*} 0\subtr 1&=0;\\ (y+1)\subtr 1&=y. \end{align*}

(Рекурсия здесь формальна, так как предыдущее значение не используется.) После этого усеченное вычитание для произвольных аргументов можно определить так:

\begin{align*} x\subtr 0&=x;\\ x\subtr (y+1)&=(x\subtr y)\subtr 1. \end{align*}

Дальше >>
< Лекция 10 || Лекция 11: 12345

Вопросы и ответы

вопросов: 0