Хорновские формулы и задача получения продукции

Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,F)

I) Инициализация:
    1.       ДЛЯ КАЖДОГО процесса  t принадлежит F  ВЫПОЛНЯТЬ 
    2.            { СЧЕТ[t] := |Lt|;
    3.            ДЛЯ КАЖДОГО a принадлежит Lt  ВЫПОЛНЯТЬ 
    4.                 добавить t в СПИСОК[a];
    5.           } ;
    6.       НОВЫЕ := X; ОБНОВА := X;
    II) Вычисление:
    7.       ПОКА ОБНОВА не пусто ВЫПОЛНЯТЬ 
    8.            { выбрать a принадлежит ОБНОВА; ОБНОВА := ОБНОВА \ {a};
    9.                ДЛЯ КАЖДОГО t принадлежит СПИСОК[a]  ВЫПОЛНЯТЬ
    10.                    { СЧЕТ[t] :=  СЧЕТ[t] - 1;
    11.                        ЕСЛИ  СЧЕТ[t] = 0
    12.                        ТО 
    13.                               ЕСЛИ {bt} не принадлежит НОВЫЕ 
    14.                               ТО { НОВЫЕ  := НОВЫЕ объединить { bt}; 
    15.                                ОБНОВА := ОБНОВА объединить {bt} } 
    16.                     }      
    17.                 }; 
    18.        вернуть(НОВЫЕ).

Следующая теорема утверждает корректность приведенного алгоритма.

Теорема 6.3. Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,F) строит замыкание .

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 6.2 (см. задачу 6.3).

Отметим, что число шагов алгоритма БыстроеЗамыкание(X,F) пропорционально размеру его входа, т.е. числу продуктов в F и X или числу букв в записи формулы (*). Такие алгоритмы называются работающими в линейное (от размера входа) время или, просто, линейными. Действительно, при инициализации каждый элемент F рассматривается 2 раза, а в основном цикле общее число рассматриваемых элементов и операций уменьшения на 1 значений СЧЕТ[t] в стр.10 алгоритма не больше суммы размеров всех L_t, т.е. также не превосходит размера входа.

Пример 6.3. Рассмотрим работу алгоритма БыстроеЗамыкание на следующем примере. Пусть A={a, b, c, d, e, f, g, h}, X = { b,f}, а множество F состоит из следующих 6 процессов:

1. a,b,c,h -> d;
2. b,c,d -> a;
3. g,b -> e;
4. e,f -> c;
5. f,e -> d;
6. b,f -> g.

Тогда при инициализации будут построен массив СЧЕТ = [4, 3, 2, 2, 2, 2] и следующие списки:

Множества ДОБАВКА и НОВЫЕ будут инициализированы в стр. 6 булевскими массивами 01000100 с 1 на местах, соответствующих продуктам b и f. Дальнейшие изменения этих структур представлены в следующей таблице.

Алгоритм завершает работу, когда множество ДОБАВКА становится пустым. В этот момент результат Cl(X,F) представлен множеством НОВЫЕ. В нашем примере оно равно {a,b,c, d,e,f,g}.

Задачи

Задача 6.1. Докажите, что последовательность процессов в доказательстве теоремы 6.1 определена корректно, т.е. все исходные продукты каждого процесса в этой последовательности имеются перед его запуском.

Задача 6.2. Докажите теорему 6.2.

Указание. Пусть X_k - это состояние множества НОВЫЕ после k итераций основного цикла алгоритма ЗАМЫКАНИЕ в строках 2-6. Покажите, что для каждого продукта , который может быть получен из X последовательностью процессов длины k, z входит в X_k.

Задача 6.3. Алгоритм ПрямаяВолна(X,y,F) позволяет ответить на вопрос о возможности производства y из исходных продуктов X с помощью процессов F, но в случае положительного ответа не строит последовательность процессов, приводящую к y. Измените алгоритм ЗАМЫКАНИЕ(X,F) так, чтобы по его результату для любого продукта можно было построить последовательность процессов, приводящую к a.

Задача 6.4. Назовем сложным технологическим процессом (или производством)} такой процесс t, который по набору исходных продуктов L_t производит некоторое множество продуктов B_t (а не один продукт b_t ). Обобщите алгоритм ЗАМЫКАНИЕ(X,F) так, чтобы он строил замыкание X относительно системы сложных технологических процессов F.

Задача 6.5. Определите, какая последовательность процессов в примере 6.3 приводит к получению a.

Задача 6.6. Используя алгоритм ЗАМЫКАНИЕ (X,F), вычислить замыкание для набора исходных продуктов X = { c,d} и следующей системы технологических процессов F:

1. a,b,d -> h;
2. a,c,d,g -> f;
3. d,g -> b;
4. e,f -> c;
5. b,k -> a;
6. d,c -> k;
7. h,d,c -> g;
8. d,g ,a -> e;
9. c, d, k -> h.

Определите, какая последовательность процессов приводит к получению e.

Задача 6.7. Докажите теорему 6.3.

Указание. Пусть X_k - это состояние множества НОВЫЕ после k итераций основного цикла алгоритма БыстроеЗамыкание в строках 7-17. Покажите, что

• если на (k+1) -ой итерации основного цикла для некоторого процесса t обнаруживается, что СЧЕТ[t] = 0, то ;
• для каждого продукта , который может быть получен из X последовательностью процессов длины k, z входит в X_k ;
• условие выхода из основного цикла выполнено после (k+1) -ой итерации тогда и только тогда, когда X_k= X_k+1.

Задача 6.8. Измените алгоритм БыстроеЗамыкание так, чтобы по его результату для любого продукта можно было построить последовательность процессов, приводящую к a.

Задача 6.9. Используя алгоритм БыстроеЗамыкание, вычислить замыкание для набора исходных атрибутов X = { a,f} и следующей системы зависимостей F:

1. a,b,c -> h;
2. a,c,d,g -> h;
3. e,f -> c;
4. f,a -> d;
5. g,d -> e;
6. d,f ,a -> g.

Определите, какая последовательность процессов приводит к получению h.