Физически реализуемые преобразования матриц плотности

Подсчет вероятностей для квантового вычисления.

Теперь, имея общие определения квантовой вероятности и физически реализуемого преобразования матриц плотности, можно вычислять вероятности, входящие в определение квантового вычисления, двумя способами. Пусть мы использовали при вычислениях дополнительную подсистему. После того, как она стала нам не нужна, мы можем выбросить ее в мусорную корзину, а при подсчете вероятности взять частичный след по пространству состояний дополнительной подсистемы. А можно тянуть весь этот мусор до самого конца и считать вероятность для событий вида (раз уж мы перестали использовать вторую подсистему, то никакие детали ее состояния нам не важны — нам безразлично, что именно произойдет с использованной подсистемой в мусорной корзине). Как уже говорилось, эти вероятности равны: .

Замечание. Нетрудно определить более общую модель квантового вычисления, в которой элементарными действиями являются подходящие преобразования матриц плотности общего вида (не обязательно унитарные операторы). Такая модель более адекватна физической ситуации, когда квантовый компьютер взаимодействует с "окружающей средой". С вычислительной точки зрения новая модель эквивалентна стандартной (если в обоих случаях используется полный базис). Однако в модели с общими преобразованиями матриц плотности возможно более естественное определение подпрограммы для квантового вычисления, поскольку результат работы квантовой схемы — вероятностная функция. Здесь мы не будем давать этого определения и отсылаем заинтересованного читателя к [20].

Потеря когерентности (decoherence).

Рассмотрим в качестве примера преобразование матриц плотности, которое "забывает" внедиагональные элементы:

Покажем, что оно "физически реализуемо", т.е. может быть построено композицией описанных выше преобразований. Будем строить это преобразование в три шага. Вначале добавим нулевые биты: Затем скопируем обратимым образом исходные биты в добавленные. Обратимое копирование задается оператором . Получаем

А теперь возьмем частичный след по добавленным битам. Получим диагональную матрицу

Предостережение. Рассмотренная нами "операция копирования"

(композиция первых двух преобразований) на самом деле копирует только базисные состояния. Заметим, что копирование произвольного квантового состояния является нелинейным оператором, поэтому не может быть реализовано физически. В дальнейшем копирование всегда будет определяться относительно некоторого базиса.

Замечание 10.2. Рассмотренное преобразование переводит любое состояние в классическое (с диагональной матрицей плотности), используя копирование битов. Это можно интерпретировать так: если постоянно наблюдать за системой (делать копии), то система будет вести себя как классическая. В случае одного q-бита то же самое преобразование (обнуление внедиагональных элементов) можно получить, если применить оператор с вероятностью :

Подобный процесс называется случайным сбоем фазы: состояние домножается на фазовый множитель с вероятностью . Таким образом, сбой фазы также приводит к тому, что система ведет себя как классическая.

Задача 10.5. Пусть имеется физически реализуемое преобразование со следующим свойством: для любого чистого состояния . Докажите, что тогда (для любого оператора ), где — некоторая фиксированная матрица плотности на пространстве .

Таким образом, нельзя получить никакой информации о неизвестном состоянии , не возмущая это состояние.