Квантовые вероятности
Задача 9.1. Докажите, что операторы вида — это в точности эрмитовы неотрицательно определенные операторы со следом 1, т.е. операторы, удовлетворяющие условиям:
В дальнейшем под матрицей плотности понимается любой оператор с этими свойствами.
Рассуждение о "распределении вероятностей на квантовых состояниях" носило вспомогательный характер. Задача состоит в том, чтобы обобщить понятие квантового состояния так, чтобы оно включало в себя классические распределения вероятностей. Полученный нами ответ (последнее выражение в (9.2)) зависит лишь от матрицы плотности, поэтому мы можем постулировать, что обобщенные квантовые состояния и матрицы плотности — это одно и то же (такая аксиома не противоречит физическим наблюдениям). Если состояние задается одним вектором ( ), то оно называется чистым, если состояние задается общей матрицей плотности, то оно называется смешанным.
Определение 9.1. Для квантового состояния, задаваемого матрицей плотности , и подпространства вероятность "события" равна .
Диагональные матрицы соответствуют классическим распределениям вероятностей на множестве базисных векторов. Это означает, что при вычислении вероятности по общей квантовой формуле для диагональной матрицы и координатного подпространства (натянутого на часть базисных векторов : ) получается то же, что и при вычислении по обычной классической формуле: .
Продолжим сравнение свойств классической и квантовой вероятности, под последней мы будем теперь понимать общее определение с использованием матриц плотности. (Свойства и остаются в силе).
Определение 9.2. Пусть . Частичный след оператора по пространству определен следующим образом: если , то .
Докажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора слагаемых в представлении . Для этого зафиксируем некоторые ортонормированные базисы в пространствах и выразим частичный след через матричные элементы . Пусть и . Тогда
и частичный след равенРассмотрим пример, когда взятие частичного следа от матрицы плотности, соответствующей чистому состоянию, приводит к матрице плотности, соответствующей смешанному состоянию.
Пусть , а , где . В этом случае , поэтому получаем
Эта матрица соответствует смешанному состоянию (чистым состояниям соответствуют матрицы ранга 1). Более того, это смешанное состояние эквивалентно классическому распределению вероятностей: и имеют вероятности, равные . Таким образом, отбрасывание второго q-бита приводит к чисто классическому распределению вероятностей на первом q-бите.Утверждение 9.1. Любое смешанное состояние представимо как частичный след от чистого состояния большей системы, , причем можно считать, что .
Доказательство. Полагаем . Так как неотрицательно определена, то существует . Докажем, что для выполнено искомое, т.е. .
Поскольку эрмитова, она диагонализуется в некотором ортонормированном базисе . Тогда , а , и . Вклад в частичный след вносят лишь слагаемые с . Поэтому .
Задача 9.2. Пусть имеется чистое состояние . Докажите, что существует так называемое разложение Шмидта:
где , а множества векторов и являются ортонормированными.Заметим, что числа — это ненулевые собственные числа частичных следов и . (Таким образом, ненулевые собственные числа и совпадают.) Отсюда следует, что взятие частичного следа от чистого состояния приводит к чистому состоянию тогда и только тогда, когда исходное состояние разложимо: .
Задача 9.3. Пусть — два чистых состояния, таких что . Докажите, что для некоторого унитарного оператора на пространстве .