Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1626 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Проблема представления данных

3.8. УПРАЖНЕНИЯ.

  1. Любое кольцо можно рассматривать как разностное кольцо с тождественным изоморфизмом.
  2. Кольцо многочленов R[x] от одной переменной над обыкновенным разностным кольцом можно превратить в обыкновенное разностное кольцо, произвольным образом задав значение \tau (x). Показать, что значением \tau (x) трансляция кольца R[x] определяется однозначно.
  3. Показать, что не любой автоморфизм \tau кольца R[x] продолжается на кольцо формальных степенных рядов.
  4. Пусть R - разностное кольцо без делителей нуля, F - его поле частных. Показать, что F можно единственным образом превратить в разностное поле, содержащее разностное кольцо R.
  5. Поле формальных (сходящихся) рядов Лорана K((x)) можно рассматривать как обыкновенное разностное поле с оператором трансляции \tau, таким, что \tau  (x) = k \cdot x, где k — произвольный ненулевой элемент поля K.

3.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — разностное кольцо с множеством операторов трансляции \Delta. Под разностным модулем над R, или разностным R - модулем, мы понимаем R -модуль M, на котором действуют операторы из множества \Delta в соответствии со следующими условиями

\tau(u+v)=\tau u+\tau v,\qquad \tau(au)=(\tau a)\tau u,\\
   (\tau\in\Delta,\quad u\in M,\quad v\in M,\quad a\in R).

Разностный модуль M можно рассматривать как левый модуль над кольцом косых многочленов R[\Delta] = R[\tau_1,\dots,\tau_n] разностного типа. Это кольцо мы будем называть кольцом разностных операторов. Пусть T — свободная коммутативная полугруппа (записываемая мультипликативно), порожденная элементами множества \Delta. Каждый элемент кольца R[\Delta ] может быть единственным образом записан в виде конечной суммы

\sum_{\theta\in
T}a_\theta\theta=\sum_{i_1,\dots,i_n}a_{i_1,\dots,i_n}\tau_1^{i_1}\tau_2^{i_2}\dots\tau_n^{i_n},

умножение образующих задается соотношениями

\tau_i\tau_j =\tau_j\tau_i,\quad
\tau_ia=\tau_i(a)\tau_i,\quad
    \text{где}\quad \tau_i,\tau_j\in\Delta,\ a\in   R,

и по линейности распространяется на все кольцо R[\Delta ]. Это кольцо иногда называют кольцом разностных многочленов, но мы будем придерживаться терминологии, принятой в монографии [ 18 ] , где кольцом разностных многочленов над разностным кольцом R называют разностное кольцо R\{y_1,\dots,y_r\} многочленов от счетного множества неизвестных \{\theta y_j\colon \theta\in T,\ 1\le j\le r\} над R. В кольце R\{y_1,\dots,y_r\} операторы трансляции из множества \Delta действуют на коэффициентах по определению разностного кольца, а на образующих \theta y_j — по правилу: \tau(\theta y_j)
=(\tau\theta)y_j.

3.10. УПРАЖНЕНИЯ. Пусть F — обыкновенное разностное поле с автоморфизмом \tau. Доказать следующие свойства кольца R = F[\tau  ] линейных разностных операторов над F:

  1. в R нет делителей нуля;
  2. R является кольцом главных левых (правых, двусторонних) идеалов;
  3. в R нет нетривиальных двусторонних идеалов;
  4. в R имеется алгоритм Евклида для нахождения левого (правого) НОД двух операторов;
  5. в R имеется алгоритм Евклида для нахождения левого (правого) НОД двух операторов;
  6. R не обязательно является кольцом с однозначным разложением на множители (привести пример разностного поля F, для которого это свойство не выполняется).

Кольца дифференциальных и разностных многочленов с точки зрения теории колец представляют собой кольца коммутативных многочленов от счетного множества переменных (каждый конкретный многочлен зависит только от конечного числа переменных). Таким образом, для решения задачи представления данных в кольце дифференциальных (разностных) многочленов и поле рациональных дифференциальных (разностных) функций достаточно упорядочить кольцевые образующие. Кольцо дифференциальных многочленов является дифференциальным кольцом, т. е. наряду с операциями сложения и умножения в нем имеются унарные операции дифференцирования, переводящие кольцевую образующую в другую кольцевую образующую, и отношение порядка на множестве кольцевых образующих выбирается так, чтобы оно было согласовано с дифференцированиями. Аналогично, кольцо разностных многочленов является разностным кольцом.

Векторные пространства и модули.

В вычислительной математике и в алгебре понятие векторного пространства над некоторым полем K играет ключевую роль. При фиксированном базисе пространства задача представления данных не представляет какой-либо сложности — два вектора совпадают тогда и только тогда, когда совпадают все их координаты в фиксированном базисе. Соответствующая структура данныхвектор элементов типа K с индексом 1..n — является одной из базисных структур данных в программировании. Для случая, когда коэффициенты образуют кольцо R, не являющееся полем, положение существенно сложнее — аналогом понятия векторного пространства (множество, замкнутое относительно сложения, вычитания и умножения на элементы кольца с естественными аксиомами сложения и умножения) является в этом случае понятие модуля. Важным частным случаем модуля является свободный модуль над кольцом R ( R -модуль). В частности, любое кольцо с единицей можно рассматривать как свободный модуль над самим собой, любой идеал кольца является его подмодулем. С точки зрения задачи представления данных соответствующая структура данных такж может быть при фиксированном базисе описана как вектор элементов типа R с индексом 1..n.

С другой стороны, свободный модуль над алгеброй обобщенных многочленов можно рассматривать как бесконечномерное векторное пространство над основным полем. В качестве базиса этого пространства удобно выбрать всевозможные произведения мономов из кольца обобщенных многочленов на модульные образующие. Любой элемент модуля содержится в некотором конечномерном подпространстве, порожденном каким-то подмножеством базисных векторов. Выбор базисных векторов и отношения порядка на множестве базисных векторов определяет каноническую форму любого элемента свободного модуля над кольцом обобщенных многочленов.

К сожалению, множество свободных модулей незамкнуто относительно модульных гомоморфизмов, т. е. как подмодули, так и фактормодули свободного модуля не обязаны быть свободными модулями.

3.11. УПРАЖНЕНИЯ.

  1. Привести пример идеала в кольце многочленов от двух переменных, не являющегося свободным модулем над этим кольцом.
  2. Привести пример факторкольца кольца многочленов от одной переменной, не являющегося свободным модулем над этим кольцом.
Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование?