Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Проблема представления данных
Дробные p-адические числа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дробь вида , , k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби, и , определяют одно и тоже p -адическое число, если в .
Совокупность всех p -адических чисел обозначается Rp. Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с Op на Rp и превращают Rp в поле.
2.9. ТЕОРЕМА. Всякое p -адическое число единственным образом представляется в виде
( 2.8) |
где m — целое число, а — единица кольца Op.
2.10. ТЕОРЕМА. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде
( 2.9) |
где .
Аксиоматическая характеристика поля p-адических чисел.
Выбрав некоторое вещественное число такое, что , (например, ) положим
( 2.10) |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , , определенная условиями (2.10), называется - адической метрикой . Значение называется величиной - адического числа в этой метрике.
Как и в случае показателя, функцию иногда будем называть просто метрикой и обозначать
Легко проверяется, что p -адическая метрика обладает следующими свойствами:
( 2.11) |
( 2.12) |
( 2.13) |
Свойства (2.11) и (2.13) указывают, что введенное понятие является аналогом абсолютной величины в поле вещественных чисел.
2.12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть k — произвольное поле. Функция определенная на элементах поля k и принимающая вещественные значения , называется метрикой поля k, если она обладает следующими свойствами:
- при ; ;
- ;
- .
Поле k вместе с заданной в нем метрикой называется метризованным полем.
Из определения легко вытекают следующие свойства метрик:
Метриками являются:
- абсолютная величина в поле рациональных чисел;
- абсолютная величина в поле вещественных чисел;
- модуль в поле комплексных чисел;
- - адическая метрика в поле - адических чисел ;
- функция , определенная в произвольном поле условиями: , при . Такая метрика называется тривиальной.
Если метрику поля мы рассматриваем лишь на рациональных числах, то получаем некоторую новую метрику поля рациональных чисел . Эта метрика, обозначаемая также через , называется - адической метрикой поля .
Аксиоматически поля вещественных и -адических чисел можно определить следующим образом.
Поле вещественных чисел — это пополнение поля рациональных чисел по метрике 1.
Поле - адических чисел — это пополнение поля рациональных чисел по - адической метрике.
2.14. УПРАЖНЕНИЕ. Представить число -1 в поле p -адических чисел в виде ряда (2.9).
2.15. УПРАЖНЕНИЕ. Представить число в поле 5-адических чисел в виде ряда (2.9).
2.16. УПРАЖНЕНИЕ. Доказать для многочленов над полем p -адических чисел признак неприводимости Эйзенштейна: многочлен f(x) = a0xn + a1xn-1 + · · · + an с целыми p -адическими коэффициентами неприводим над полем Rp, если a0 не делится на p, все остальные коэффициенты a1, . . . , an делятся на p и свободный член an, делясь на p, не делится на p2.