Потоки

Метод увеличивающих путей

При внимательном рассмотрении рисунка 16.1 можно обнаружить, что представленный на нем поток не является максимальным, так как существует ориентированный путь , на каждом ребре которого поток можно увеличить на 1. Иногда поток можно увеличить и при отсутствии таких "недогруженных" путей из источника в сток. Рассмотрим пример сети и потока на рис. 16.2 слева. Среди ребер, выходящих из источника, только на ребре можно было бы увеличить поток на 1. Но тогда нарушится условие сохранения потока в вершине , а дальше эту дополнительную единицу потока передать нельзя, так как ребро полностью загружено. Можно, однако, заметить, что в вершину входит еще ребро с положительным потоком на нем. Если одновременно увеличить поток на ребре и уменьшить на ребре на 1, то условие сохранения в вершине останется выполненным. Но теперь будет нарушено условие сохранения в вершине . Это легко исправить, уменьшив на 1 поток на ребре . В результате возникает нарушение в вершине , но и оно будет устранено, если мы увеличим на 1 поток на ребре . После этого условие сохранения будет выполнено во всех внутренних вершинах, а величина потока увеличится на 1. Новый поток показан на рисунке 16.2.

Рис. 16.2.

В этом примере, как и в предыдущем, удалось найти путь (выделен на рисунке), вдоль которого можно направить дополнительный поток. Отличие в том, что этот путь не ориентированный - при движении вдоль него от источника к стоку некоторые ребра проходятся в направлении ориентации (прямые), другие против ориентации (обратные). При этом все прямые ребра пути недогружены, то есть поток на каждом из них не достигает пропускной способности, а на каждом из обратных ребер имеется положительный поток. Благодаря этому можно увеличить поток на всех прямых ребрах пути и уменьшить на всех обратных на одну и ту же величину. В результате условие сохранения потока во внутренних вершинах по-прежнему выполняется, а величина потока увеличивается.

Приведенный пример иллюстрирует общий метод, на котором основаны многие алгоритмы решения задачи о максимальном потоке - метод увеличивающих путей. Он является обобщением метода увеличивающих путей для задачи о паросочетании. Введем необходимые понятия и докажем теорему, обосновывающую этот метод.

Допустим, имеется сеть и в ней поток . Пусть - неориентированный путь в сети. Ребро назовем прямым ребром этого пути, если , и обратным, если . Путь назовем подходящим относительно потока , если для каждого прямого ребра f(e_i)< c(e_i), а для каждого обратного . Таким образом, на каждом прямом ребре подходящего пути поток можно увеличить, а на каждом обратном - уменьшить. Увеличивающий путь - это подходящий путь из источника в сток.

Лемма 3. Если относительно потока имеется увеличивающий путь, то этот поток не максимален.

Доказательство. Пусть - увеличивающий путь для потока , - множество всех прямых, - множество всех обратных ребер этого пути. Положим,

.

Тогда на каждом прямом ребре пути можно увеличить поток на величину , а на каждом обратном - уменьшить на величину . Возьмем

и определим на ребрах сети новую функцию :

.

Легко видеть, что условия (1) и (2) для функции выполняются, так что эта функция является потоком. Вместе с тем, очевидно, , причем .