Рационализация переборных алгоритмов

Рационализация поиска наибольшего независимого множества

Известны различные приемы сокращения перебора при использовании описанной стратегии исчерпывающего поиска. Один из них основан на следующем наблюдении. Допустим, в графе , для которого нужно найти наибольшее независимое множество, имеются две вершины и , такие, что каждая вершина, отличная от и смежная с вершиной , смежна и с вершиной . Иначе говоря, . Будем говорить в этом случае, что вершина поглощает вершину . Если при этом вершины и смежны, то скажем, что вершина смежно поглощает вершину . Вершину в этом случае назовем смежно поглощающей. Например, в графе, изображенном на рис. 11.1, вершина 2 смежно поглощает вершины 1 и 3. Вершины 5 и 6 в этом графе тоже являются смежно поглощающими.

Рис. 11.1.

Итак, если мы удалим из графа смежно поглощающую вершину , то получим граф с тем же числом независимости. Так как новый граф является порожденным подграфом исходного графа , то каждое наибольшее независимое множество нового графа будет наибольшим независимым множеством исходного. Этот прием называется "сжатием по включению". Исследование применимости и применение операции сжатия по включению к каждому встречающемуся подграфу требуют, конечно, дополнительных расходов времени (каких?), но могут привести к существенному сокращению дерева подзадач. Для некоторых графов задача о независимом множестве может быть решена с помощью одних только сжатий по включению. Таков, например, граф , и вообще любой лес. Действительно, любая вершина, смежная с листом, поглощает этот лист. Рассмотрим более широкий класс графов, для которых этот прием эффективен.